В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а биссектриса,проведенная к основанию,-8...

Для решения задачи о радиусах окружностей, связанных с равнобедренным треугольником, нам необходимо использовать известные геометрические формулы и параметры треугольника.

Дано:

• Равнобедренный треугольник ( ABC ) с боковыми сторонами ( AB = AC = 10 ) см.
• Биссектриса ( AD ), проведенная к основанию ( BC ), равна 8 см.

Найдем основание ( BC ) и высоту ( h ) треугольника:

1. Используем свойство биссектрисы: Биссектриса делит противоположную сторону в отношении сторон, т.е. ( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1 ), так как треугольник равнобедренный. Поэтому ( BD = DC = \frac{BC}{2} ).

2. Используем теорему о биссектрисе: [ AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC}{AB + AC} \cdot \cos \frac{\angle BAC}{2} ] Поскольку ( AB = AC ), то для равнобедренного треугольника: [ AD = \frac{2 \cdot 10 \cdot 10}{10 + 10} \cdot \cos \frac{\angle BAC}{2} = 10 \cdot \cos \frac{\angle BAC}{2} = 8 ] [ \cos \frac{\angle BAC}{2} = \frac{8}{10} = 0.8 ]

3. Используем косинус угла: [ \cos \angle BAC = 2 \cos^2 \frac{\angle BAC}{2} - 1 = 2 \cdot 0.64 - 1 = 0.28 ]

4. Используем закон косинусов для основания ( BC ): [ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC ] [ BC^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 0.28 = 200 - 56 = 144 ] [ BC = \sqrt{144} = 12 \, \text{см} ]

5. Найдем высоту ( h ) к основанию ( BC ): В равнобедренном треугольнике высота к основанию также является медианой. Используем теорему Пифагора для треугольника ( ABD ) (где ( BD = 6 )): [ h^2 + 6^2 = 10^2 ] [ h^2 = 100 - 36 = 64 ] [ h = \sqrt{64} = 8 \, \text{см} ]

Найдем радиусы окружностей:

1. Радиус вписанной окружности ( r ): Площадь треугольника ( S ) равна: [ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \, \text{см}^2 ] Полупериметр ( p ) равен: [ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16 \, \text{см} ] [ r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3 \, \text{см} ]

2. Радиус описанной окружности ( R ): [ R = \frac{abc}{4S} ] Где ( a = 10 ), ( b = 10 ), ( c = 12 ): [ R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = \frac{1200}{192} = \frac{25}{4} = 6.25 \, \text{см} ]

Ответ:

• Радиус вписанной окружности: ( r = 3 \, \text{см} )
• Радиус описанной окружности: ( R = 6.25 \, \text{см} )

Для начала найдем высоту равнобедренного треугольника, используя теорему Пифагора. Обозначим высоту как h. Так как биссектриса, проведенная к основанию, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, то можем составить уравнение: h^2 + 5^2 = 10^2, h^2 + 25 = 100, h^2 = 75, h = √75 = 5√3.

Теперь найдем площадь треугольника, используя высоту: S = 1/2 основание высота = 1/2 10 5√3 = 25√3.

Так как площадь равнобедренного треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности (r) и полупериметр треугольника (p), то получаем: S = rp, 25√3 = 10r, r = 25√3 / 10 = 5√3 / 2 = 2.5√3.

Радиус описанной окружности равен половине длины биссектрисы: R = 8 / 2 = 4 см.

Итак, радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен 2.5√3 см, а радиус окружности, описанной около данного треугольника, равен 4 см.