В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании образуют при пересечении угол, равный...

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 76°.

(На чертеже: угол при вершине - 76°, биссектрисы углов при основании образуют угол 52°)

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника и биссектрис.

Дано:

• ( \triangle ABC ) — равнобедренный треугольник с основанием ( AB ).
• Биссектрисы углов при основании ( \angle A ) и ( \angle B ) пересекаются в точке ( D ), образуя угол ( \angle ADB = 52^\circ ).

Требуется найти:

• Угол при вершине ( C ) треугольника ( \triangle ABC ).

Решение:

1. Свойства биссектрис: В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании делят эти углы пополам. Пусть угол при основании ( A ) равен ( \angle ACB = \alpha ). Тогда биссектрисы делят его так, что каждая из частей равна ( \frac{\alpha}{2} ).

2. Углы при основании: Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: [ \angle A = \angle B = \alpha. ]

3. Выражение угла при пересечении биссектрис: Из свойств равнобедренного треугольника и теоремы о сумме углов в треугольнике, мы знаем: [ \angle C = 180^\circ - 2\alpha. ] Так как биссектрисы углов ( \angle A ) и ( \angle B ) пересекаются в точке ( D ), то угол между ними равен: [ \angle ADB = 180^\circ - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} + \angle C\right). ] Подставим известное значение угла ( \angle ADB = 52^\circ ): [ 52^\circ = 180^\circ - \left(\alpha + \angle C\right). ]

4. Выражение для угла при вершине ( C ): Подставляя ( \angle C = 180^\circ - 2\alpha ) в уравнение, получаем: [ 52^\circ = 180^\circ - (\alpha + (180^\circ - 2\alpha)). ] Упростим уравнение: [ 52^\circ = 180^\circ - (180^\circ - \alpha). ] [ 52^\circ = \alpha. ]

5. Нахождение угла при вершине ( C ): Теперь, когда мы знаем, что ( \alpha = 52^\circ ), подставим это значение в выражение для угла при вершине: [ \angle C = 180^\circ - 2 \times 52^\circ = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ. ]

Ответ:

Угол при вершине ( C ) треугольника ( \triangle ABC ) равен ( 76^\circ ).

Чертёж:

К сожалению, я не могу сделать чертёж. Однако вы можете следовать следующим шагам для построения:

1. Нарисуйте равнобедренный треугольник ( \triangle ABC ) с основанием ( AB ).
2. Проведите биссектрисы углов ( \angle A ) и ( \angle B ), которые пересекаются в точке ( D ).
3. Обозначьте угол ( \angle ADB = 52^\circ ).
4. Подпишите все найденные углы.

Для того чтобы найти угол при вершине равнобедренного треугольника, нам нужно воспользоваться тем, что биссектрисы углов при основании делят их пополам.

По условию, при пересечении биссектрис углов при основании образуется угол, равный 52°. Так как биссектрисы делят углы пополам, то каждый из углов при основании равен 2 * 52° = 104°.

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то оставшийся угол (угол при вершине) равен (180° - 104°) / 2 = 38°.

Таким образом, угол при вершине равнобедренного треугольника равен 38°.