В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) угол А = 30° и АС = 8√3. Найдите диаметр окружности, описанной...

Диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен удвоенной высоте треугольника.

Поскольку угол А = 30°, то треугольник АВС является 30-60-90 треугольником. Так как АС = 8√3, то высота треугольника равна половине стороны, противолежащей углу 60°. Таким образом, высота треугольника равна 4√3.

Диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен удвоенной высоте, то есть 8√3.

Чтобы найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника ( \triangle ABC ) с ( AB = BC ), углом ( A = 30^\circ ) и ( AC = 8\sqrt{3} ), мы можем использовать теорему синусов, которая гласит, что:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R ]

где ( R ) — радиус описанной окружности, а ( a, b, c ) — стороны треугольника, лежащие напротив углов ( A, B, C ) соответственно.

1. Определение углов: В треугольнике ( ABC ) известно, что ( \angle A = 30^\circ ). Поскольку треугольник равнобедренный (( AB = BC )), углы при основании равны: ( \angle B = \angle C ).

   Сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ):

   [ \angle A + 2\angle B = 180^\circ ]

   [ 30^\circ + 2\angle B = 180^\circ ]

   [ 2\angle B = 150^\circ ]

   [ \angle B = 75^\circ ]

   Таким образом, ( \angle B = \angle C = 75^\circ ).

2. Применение теоремы синусов: Используем известную сторону ( AC = 8\sqrt{3} ) и соответствующий угол ( \angle B = 75^\circ ) для применения теоремы синусов:

   [ \frac{AC}{\sin B} = 2R ]

   Подставим значения:

   [ \frac{8\sqrt{3}}{\sin 75^\circ} = 2R ]

   Зная, что ( \sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ), получим:

   [ \frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 2R ]

   Упростим выражение:

   [ \frac{8\sqrt{3} \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2R ]

   [ \frac{32\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2R ]

3. Избавление от иррациональности в знаменателе: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число ( \sqrt{6} - \sqrt{2} ):

   [ \frac{32\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = 2R ]

   [ \frac{32\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = 2R ]

   [ \frac{32\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 2R ]

   [ 8\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2R ]

   [ 8\sqrt{18} - 8\sqrt{6} = 2R ]

   [ 24 - 8\sqrt{6} = 2R ]

   [ R = 12 - 4\sqrt{6} ]

   Здесь я допустил ошибку в вычислениях, упрощая выражение. Давайте пересчитаем. Важно заметить, что на практике, чтобы найти ( R ), достаточно использовать:

   [ R = \frac{8\sqrt{3}}{2\sin 75^\circ} ]

   Итак:

   [ R = \frac{8\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} ]

   [ R = \frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} ]

   [ R = \frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} ]

   [ R \approx \frac{16\sqrt{3} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 8 ]

   Диаметр окружности:

   [ D = 2R \approx 16 ]

Таким образом, диаметр окружности, описанной около треугольника ( \triangle ABC ), равен ( 16 ).

Для начала найдем высоту треугольника АВС. Для этого разделим треугольник на два равнобедренных треугольника АВD и DСВ, где D - точка пересечения высоты с основанием треугольника. Так как треугольник АВС равнобедренный, то угол DАВ = угол DСВ = (180 - угол А) / 2 = (180 - 30) / 2 = 75°. Также угол DАВ = угол DСВ, так как треугольник равнобедренный. Значит, треугольники АВD и DСВ равнобедренные, и высота треугольника АВС равна AD = DC.

Так как угол DАВ = 75°, то угол DАС = 90 - 75 = 15°. Также угол DАС = угол DCА, так как треугольник равнобедренный. Таким образом, треугольник DАС - равнобедренный, и AD = DC.

Из треугольника DАС по теореме синусов получаем: 8√3 / sin 15° = AD / sin 75°, AD = 8√3 sin 75° / sin 15° ≈ 8√3 0.966 / 0.259 ≈ 29.7.

Теперь найдем радиус описанной окружности, который равен половине высоты треугольника АВС: R = AD / 2 ≈ 29.7 / 2 ≈ 14.85.

И, наконец, диаметр окружности равен удвоенному радиусу: D = 2R ≈ 2 * 14.85 ≈ 29.7.

Таким образом, диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен примерно 29.7.