В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС, медианы АЕ и СК пересекаются в точке М. ВМ=6, АС=10. Найдите...

Для начала найдем длину медианы АЕ. Поскольку треугольник АВС равнобедренный, медиана АЕ также является высотой и делит треугольник на два равных по площади треугольника. Таким образом, площадь треугольника АВС равна S = 2 * S(ΔАЕС), где S(ΔАЕС) - площадь треугольника АЕС.

Теперь рассмотрим треугольник АЕС. По формуле для площади треугольника через медиану и основание S(ΔАЕС) = (1/2) АЕ АС. Так как АВ = ВС, то АЕ = ВЕ = ВС/2 = 5. Таким образом, S(ΔАЕС) = (1/2) 5 10 = 25.

Итак, площадь треугольника АВС равна S = 2 * 25 = 50.

В равнобедренном треугольнике ( \triangle ABC ) с равными сторонами ( AB = BC ), медианы ( AE ) и ( CK ) пересекаются в точке ( M ). Нам известно, что ( VM = 6 ) и ( AC = 10 ). Требуется найти площадь треугольника ( \triangle ABC ).

1. Свойства медиан и точки пересечения медиан: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении ( 2:1 ), считая от вершины. Это значит, что если ( V ) — середина стороны ( AC ), то ( VM = \frac{2}{3}VK ).

2. Рассмотрим медиану ( CK ): Так как ( V ) — середина ( AC ), ( AV = VC = 5 ).

3. Используем свойство центра тяжести: Поскольку ( M ) — точка пересечения медиан, ( VM = \frac{1}{3}VK ) и ( VK = \frac{3}{2}VM = \frac{3}{2} \times 6 = 9 ).

4. Рассмотрим треугольник ( \triangle AVC ): Поскольку ( V ) — середина ( AC ), этот треугольник равнобедренный с основанием ( AC = 10 ) и высотой ( VK = 9 ).

5. Найдем площадь ( \triangle AVC ): Площадь равнобедренного треугольника может быть найдена через основание и высоту: [ \text{Площадь } \triangle AVC = \frac{1}{2} \times AC \times VK = \frac{1}{2} \times 10 \times 9 = 45 ]

6. Используем симметрию: Поскольку ( AB = BC ) и медианы равны, треугольник ( \triangle ABC ) состоит из двух равных по площади треугольников ( \triangle AVC ) и ( \triangle BVC ).

7. Полная площадь треугольника ( \triangle ABC ): Площадь ( \triangle ABC = 2 \times \text{Площадь } \triangle AVC = 2 \times 45 = 90 ).

Таким образом, площадь треугольника ( \triangle ABC ) равна 90 квадратных единиц.