В равнобедренной трапеций ABCD угол A=30, меньшее основание равно боковой стороне, а высота, опущенная...

Для решения задачи воспользуемся геометрическими свойствами равнобедренной трапеции и проведём вычисления шаг за шагом.

Условие:

1. Дана равнобедренная трапеция (ABCD), где (AB \parallel CD), (AD = BC).
2. Угол (\angle A = 30^\circ).
3. Меньшее основание (AB) равно боковой стороне (AD) ((AB = AD = BC = a)).
4. Высота, опущенная из вершины (B) на основание (CD), равна (4) см.
5. Требуется найти длину вектора (|\vec{CD} - \vec{CB} - \vec{BA}|).

1. Построение и запись известных величин

Обозначим:

• (h = 4) — высота трапеции.
• (AB = AD = BC = a) — длина меньшего основания и боковых сторон.
• (CD = b) — длина большего основания.

Через высоту (h), проведённую из вершины (B), трапеция делится на два прямоугольных треугольника: (BKH) и (DCH), где (K) — основание высоты (h), опущенной на (CD).

Так как (\angle A = 30^\circ), треугольник (AKD) (образованный высотой и боковой стороной) является прямоугольным. Следовательно: [ \cos \angle A = \frac{h}{AD} \implies \cos 30^\circ = \frac{4}{a}. ] Подставим (\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}): [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{a} \implies a = \frac{8}{\sqrt{3}} \implies a = \frac{8\sqrt{3}}{3}. ]

Таким образом, (AB = AD = BC = \frac{8\sqrt{3}}{3}).

2. Найдём длину большего основания (CD)

Теперь найдём длину большего основания (CD). Для этого учтём, что основание (CD) состоит из трёх частей: меньшего основания (AB) и двух отрезков, образованных проекцией боковых сторон ((x)) на основание (CD).

Проекция боковой стороны (AD) на (CD) равна: [ x = AD \cdot \sin \angle A. ] Подставим (\sin \angle A = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}): [ x = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{\frac{8\sqrt{3}}{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{3}. ]

Длина большего основания (CD) равна: [ CD = AB + 2x = a + 2x = \frac{8\sqrt{3}}{3} + 2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} + \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}. ]

3. Определим векторы (\vec{CD}), (\vec{CB}), (\vec{BA})

Рассмотрим трапецию в системе координат:

• Вершину (A) расположим в точке ((0, 0)).
• Точку (B) в ((a, 0)), так как (AB = a).
• Точку (C) в ((x, h)), где (x = \frac{AB + CD}{2} = \frac{a + b}{2}), и (h = 4).
• Точку (D) в ((0, h)).

Теперь запишем векторы:

1. (\vec{CD} = (CD - 0, 0 - h) = (b, -h)).
2. (\vec{CB} = (a - x, 0 - h)).
3. (\vec{BA} = (0 - a, 0 - 0) = (-a, 0)).

4. Найдём (|\vec{CD} - \vec{CB} - \vec{BA}|)

Сначала вычислим (\vec{CD} - \vec{CB} - \vec{BA}): [ \vec{CD} - \vec{CB} - \vec{BA} = (b, -h) - (a - x, -h) - (-a, 0). ] Выполним вычитание по координатам: [ \vec{CD} - \vec{CB} - \vec{BA} = (b - (a - x) - (-a), -h - (-h) - 0). ] [ \vec{CD} - \vec{CB} - \vec{BA} = (b - a + x + a, 0) = (b + x, 0). ]

Теперь найдём длину этого вектора: [ |\vec{CD} - \vec{CB} - \vec{BA}| = \sqrt{(b + x)^2 + 0^2} = b + x. ]

Подставим ранее найденные значения: [ b = \frac{16\sqrt{3}}{3}, \quad x = \frac{4\sqrt{3}}{3}. ] [ |\vec{CD} - \vec{CB} - \vec{BA}| = b + x = \frac{16\sqrt{3}}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3}. ]

Ответ:

[ |\vec{CD} - \vec{CB} - \vec{BA}| = \frac{20\sqrt{3}}{3} \, \text{см}. ]

Для решения задачи начнем с анализа заданной равнобедренной трапеции ABCD.

1. Определение параметров трапеции:

   • Угол A равен 30°, что означает, что угол D также равен 30° (так как ABCD – равнобедренная трапеция).
   • Обозначим боковую сторону AB и меньшую сторону CD как x. По условию, меньшее основание равно боковой стороне, т.е. CD = x.
   • Высота, опущенная из вершины B (высота BH), равна 4 см.

2. Определение высоты и основания:

   • В равнобедренной трапеции высота опускается перпендикулярно к основаниям. В данном случае, высота BH делит основание CD на две равные части, так как AB = AD.
   • Обозначим основание AD как y. Треугольник ABH является прямоугольным, где AB — гипотенуза, BH — одна из катетов, а AH — другой катет.

3. Применение тригонометрии:

   • В треугольнике ABH:
     • (\sin(30°) = \frac{BH}{AB} = \frac{4}{x})
     • (\sin(30°) = \frac{1}{2}), следовательно, (x = 8 \text{ см}).
   • Теперь мы знаем длину боковой стороны и меньшего основания: AB = 8 см, CD = 8 см.

4. Определение длины большего основания:

   • Для нахождения длины большего основания AD можно использовать (AH):
     • (\cos(30°) = \frac{AH}{AB} = \frac{AH}{8})
     • (\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}), следовательно, (AH = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}).
   • Таким образом, длина большего основания AD = CD + 2 AH = 8 + 2 4\sqrt{3} = 8 + 8\sqrt{3} см.

5. Определение координат вершин:

   • Для удобства, расположим трапецию так, чтобы A находилась в начале координат (0, 0), B в (8, 0), C в (4 + 4\sqrt{3}, 4) и D в (4, 4).
   • Вектор BC можно найти как: [ \overrightarrow{BC} = C - B = (4 + 4\sqrt{3} - 8, 4 - 0) = (-4 + 4\sqrt{3}, 4). ]
   • Вектор AB: [ \overrightarrow{AB} = B - A = (8 - 0, 0 - 0) = (8, 0). ]
   • Вектор CD: [ \overrightarrow{CD} = D - C = (4 - (4 + 4\sqrt{3}), 4 - 4) = (-4\sqrt{3}, 0). ]

6. Исключение векторов:

   • Теперь находим вектор (|CD - CB - BA|): [ \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB} = (-4\sqrt{3}, 0) - (-4 + 4\sqrt{3}, 4) - (8, 0). ] [ = (-4\sqrt{3} + 4 - 4\sqrt{3} - 8, -0 - 4) = (-8\sqrt{3} - 4, -4). ]

Таким образом, векторы в данной трапеции находятся, и можно выразить результат.

Итог: Векторы (|CD - CB - BA| = (-8\sqrt{3} - 4, -4)).