В равнобедренной трапеции угол при основании равен 45 градусов, а высота равна меньшему основанию. Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 12 см
В равнобедренной трапеции угол при основании равен 45 градусов, а высота равна меньшему основанию. Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 12 см
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и тригонометрическими соотношениями.
Пусть (AB) и (CD) — основания трапеции, причём (AB) — большее основание и (AB = 12) см, (CD = x) см. Пусть (AD) и (BC) — боковые стороны трапеции. Так как трапеция равнобедренная, (AD = BC). Высота трапеции (h) равна меньшему основанию, то есть (h = x).
Поскольку угол при основании равен (45^\circ), то треугольник (ADC) является равнобедренным прямоугольным треугольником (так как сумма углов треугольника равна (180^\circ) и один из углов прямой, то остающиеся два угла по (45^\circ)). В таком треугольнике катеты равны, и мы можем использовать теорему Пифагора или свойства прямоугольного треугольника с углами (45^\circ).
Рассмотрим малый прямоугольный треугольник, который образуется при проведении высоты из точки (C) на большее основание (AB), точка пересечения (P). Так как угол (45^\circ), то (CP = x). Рассмотрим (AP) – часть большего основания, не покрытая меньшим основанием. Поскольку (AB = 12) см и (CD = x) см, то (AP = BP = \frac{12 - x}{2}).
Из прямоугольного треугольника (APC) с углом (45^\circ) получаем, что (AP = CP = x), откуда: [ \frac{12 - x}{2} = x ] [ 12 - x = 2x ] [ 12 = 3x ] [ x = 4 \text{ см} ]
Теперь мы знаем, что (h = x = 4) см и (CD = 4) см. Площадь трапеции можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2}(AB + CD)h ] [ S = \frac{1}{2}(12 + 4) \times 4 ] [ S = \frac{1}{2} \times 16 \times 4 ] [ S = 32 \text{ см}^2 ]
Таким образом, площадь трапеции равна 32 см².
Для нахождения площади равнобедренной трапеции с углом при основании 45 градусов и высотой, равной меньшему основанию, необходимо воспользоваться формулой для площади трапеции: (S = \frac{a+b}{2} \cdot h), где (a) и (b) - основания трапеции, (h) - высота.
По условию задачи, большее основание (b = 12) см, меньшее основание (a) неизвестно. Так как угол при основании равен 45 градусов, то это значит, что боковая сторона трапеции равна (a).
Поскольку у нас равнобедренная трапеция, то (a = b), а также, по условию, высота (h = a).
Таким образом, получаем, что (a = b = 12) см.
Подставляем значения в формулу: (S = \frac{12+12}{2} \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144) см².
Итак, площадь равнобедренной трапеции равна 144 квадратных сантиметра.
