В равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 20 см. Угол при основании равен 45°. Найдите высоту...

Для нахождения высоты равнобедренной трапеции можно воспользоваться теоремой Пифагора. Поскольку угол при основании равен 45°, то трапеция делится на два прямоугольных треугольника. Для одного из них основание равно 8 см, гипотенуза равна высоте, а катет равен половине разности оснований (20-8)/2 = 6 см. Таким образом, мы можем составить уравнение: (высота)^2 = 6^2 + h^2 высота = √(36 + h^2)

Также, зная высоту, можно найти площадь трапеции по формуле: S = ((a + b) / 2) * h, где а и b - основания трапеции (8 и 20 см соответственно), h - высота.

Подставив известные значения, получаем: высота = √(36 + h^2) = √(36 + h^2) S = ((8 + 20) / 2) h = 14 h

Теперь можем найти значения: высота = √(36 + h^2) = √(36 + h^2) S = 14 * h

Для решения задачи сначала найдем высоту равнобедренной трапеции и её площадь.

Дано:

• Основания трапеции: ( a = 8 ) см и ( b = 20 ) см.
• Угол при основании: ( \alpha = 45^\circ ).

Найдем высоту трапеции:

Пусть ( AD ) и ( BC ) — боковые стороны трапеции ( ABCD ), где ( AB = 20 ) см и ( CD = 8 ) см. Угол ( \angle DAB = 45^\circ ).

1. Так как трапеция равнобедренная, проведем перпендикуляры ( DE ) и ( CF ) из вершин ( D ) и ( C ) на основание ( AB ). Отрезки ( DE ) и ( CF ) равны высоте ( h ) трапеции.
2. Поскольку ( \angle DAB = 45^\circ ), треугольник ( \triangle ADE ) — прямоугольный, и его острый угол равен ( 45^\circ ). Следовательно, ( \triangle ADE ) является равнобедренным, то есть ( DE = AE ).
3. По свойству трапеции, ( AB = CD + 2 \cdot AE ). Подставим известные длины: ( 20 = 8 + 2 \cdot AE ).
4. Решим уравнение: ( 2 \cdot AE = 12 ), откуда ( AE = 6 ) см.
5. Так как ( DE = AE = 6 ) см, то высота ( h = DE = 6 ) см.

Найдем площадь трапеции:

Площадь ( S ) трапеции вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h ] Подставим известные значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot (8 + 20) \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 6 = 84 \text{ см}^2 ]

Ответ:

• Высота трапеции: ( 6 ) см.
• Площадь трапеции: ( 84 ) см².