. В равнобедренной трапеции один из углов равен 120˚, а меньшее основание равно 8 см, найдите периметр...

Периметр равнобедренной трапеции равен 32 см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами равнобедренной трапеции.

Пусть боковая сторона трапеции равна меньшему основанию и обозначим ее через х. Также обозначим большее основание через у.

Так как у нас равнобедренная трапеция, то угол между большим основанием и наклонной стороной равен 120 градусам. Таким образом, мы можем разбить треугольник на два равнобедренных треугольника с углом 60 градусов и длиной основания х.

По свойствам равнобедренного треугольника, высота треугольника равна половине от большего основания минус меньшее основание, т.е. h = (у - 8) / 2.

Теперь мы можем применить теорему косинусов для нахождения длины большего основания у: у^2 = x^2 + h^2 - 2xh * cos(60˚).

Подставляем значение h и угла, находим значение y.

Теперь можем найти периметр трапеции: P = x + y + 2 * √(h^2 + (y - x)^2).

Подставляем значения x, y и h и получаем итоговый ответ.

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

1. Условие задачи:

   • Дано равнобедренная трапеция (ABCD) с основаниями (AB) и (CD), где (AB < CD).
   • Один из углов, предположим угол (DAB), равен (120^\circ).
   • Меньшее основание (AB = 8) см.
   • Боковая сторона (AD = BC = 8) см (поскольку равнобедренная трапеция).

2. Цель: Найти периметр трапеции (ABCD).

3. Рассмотрим угол (DAB = 120^\circ):

   • Поскольку трапеция равнобедренная, углы при основании (AB) равны, то есть (\angle DAB = \angle ABC = 120^\circ).
   • Следовательно, углы при основании (CD) равны (\angle BCD = \angle CDA = 60^\circ).

4. Рассмотрим треугольник ( \triangle ABD):

   • Это треугольник с углами ( \angle DAB = 120^\circ), ( \angle ABD = 30^\circ) и ( \angle ADB = 30^\circ).
   • Углы при основаниях равны, значит ( \triangle ABD) равнобедренный с (AD = BD = 8) см.

5. Найдем (CD) с помощью теоремы косинусов в треугольнике (ABD): [ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(120^\circ) ] [ BD^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) ] [ BD^2 = 64 + 64 + 64 = 192 ] [ BD = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} ]

6. Периметр трапеции (ABCD): [ P = AB + CD + AD + BC ] [ P = 8 + (8 + 2 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)) + 8 + 8 ] [ P = 8 + (8 + 8) + 8 + 8 ] [ P = 8 + 16 + 8 + 8 = 40 \, \text{см} ]

Таким образом, периметр трапеции составляет (40) см.