В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, высота трапеции равна 18 см. Найдите площадь...

Площадь равнобедренной трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. В данном случае, если высота равна 18 см, то площадь трапеции равна $a+b$*18/2, где a и b - основания трапеции.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойством равнобедренной трапеции, что диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам. Обозначим основания трапеции как a и b, боковые стороны равными c и d, а высоту как h.

Таким образом, у нас есть следующие соотношения:

1. a = b
2. c = d
3. h = 18 см
4. Пусть диагонали пересекаются в точке O, тогда получаем, что треугольники AOB и COD равны по гипотенузе и катетам.

Из данных свойств можем выразить длины диагоналей: a^2 + h^2 = $d/2$^2 b^2 + h^2 = $c/2$^2

Также из условия равнобедренности трапеции следует, что: a = d - c b = c

Из этих уравнений можно выразить a, b, c и d через h и найти площадь трапеции по формуле: S = h/2 * $a+b$

Подставив найденные значения a и b, получим окончательный ответ.

Для решения данной задачи можно использовать свойства равнобедренной трапеции, в которой диагонали взаимно перпендикулярны. В такой трапеции диагонали делятся точкой пересечения пополам, и каждая диагональ делит трапецию на два равных прямоугольных треугольника.

1. Пусть длина диагонали трапеции равна $d$. Так как диагонали перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения, каждый из четырех образовавшихся треугольников имеет катет, равный половине высоты трапеции, то есть $\frac{18}{2}=9$ см.

2. В одном из этих треугольников, катеты равны 9 см $высота$, и так как диагонали перпендикулярны, другой катет $частьоснованиятрапеции$ тоже равен 9 см. Таким образом, гипотенуза $диагональтрапеции$ по теореме Пифагора будет: $d=\sqrt{9^2+9^2}=\sqrt{81+81}=\sqrt{162}=9\sqrt{2}\text{ см}$

3. Теперь рассмотрим всю трапецию. Высота делит трапецию на два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник. Основания трапеции будут равны длине проекций диагоналей на основание. Так как диагонали взаимно перпендикулярны и равны $9\sqrt{2}$ см, то меньшее основание $половинадлиныоднойдиагонали$ равно $9\sqrt{2}$ см, и большее основание $суммадлинполовинобеихдиагоналей$ равно $2\times 9\sqrt{2}=18\sqrt{2}$ см.

4. Площадь трапеции находится по формуле: $S=\frac{a+b}{2}\times h$ где $a$ и $b$ – длины оснований трапеции, $h$ – высота. Подставляя значения, получаем: $S=\frac{9\sqrt{2}+18\sqrt{2}}{2}\times 18=\frac{27\sqrt{2}}{2}\times 18=\frac{27\times 18}{2}\times \sqrt{2}=243\sqrt{2}{\text{ см}}^2$

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции, в которой диагонали взаимно перпендикулярны и высота равна 18 см, составляет $243\sqrt{2}$ квадратных сантиметров.