В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, высота трапеции равна 18 см. Найдите площадь...

Площадь равнобедренной трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. В данном случае, если высота равна 18 см, то площадь трапеции равна (a+b)*18/2, где a и b - основания трапеции.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойством равнобедренной трапеции, что диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам. Обозначим основания трапеции как a и b, боковые стороны равными c и d, а высоту как h.

Таким образом, у нас есть следующие соотношения:

1. a = b
2. c = d
3. h = 18 см
4. Пусть диагонали пересекаются в точке O, тогда получаем, что треугольники AOB и COD равны по гипотенузе и катетам.

Из данных свойств можем выразить длины диагоналей: a^2 + h^2 = (d/2)^2 b^2 + h^2 = (c/2)^2

Также из условия равнобедренности трапеции следует, что: a = d - c b = c

Из этих уравнений можно выразить a, b, c и d через h и найти площадь трапеции по формуле: S = h/2 * (a + b)

Подставив найденные значения a и b, получим окончательный ответ.

Для решения данной задачи можно использовать свойства равнобедренной трапеции, в которой диагонали взаимно перпендикулярны. В такой трапеции диагонали делятся точкой пересечения пополам, и каждая диагональ делит трапецию на два равных прямоугольных треугольника.

1. Пусть длина диагонали трапеции равна ( d ). Так как диагонали перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения, каждый из четырех образовавшихся треугольников имеет катет, равный половине высоты трапеции, то есть ( \frac{18}{2} = 9 ) см.

2. В одном из этих треугольников, катеты равны 9 см (высота), и так как диагонали перпендикулярны, другой катет (часть основания трапеции) тоже равен 9 см. Таким образом, гипотенуза (диагональ трапеции) по теореме Пифагора будет: [ d = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} \text{ см} ]

3. Теперь рассмотрим всю трапецию. Высота делит трапецию на два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник. Основания трапеции будут равны длине проекций диагоналей на основание. Так как диагонали взаимно перпендикулярны и равны (9\sqrt{2}) см, то меньшее основание (половина длины одной диагонали) равно (9\sqrt{2}) см, и большее основание (сумма длин половин обеих диагоналей) равно (2 \times 9\sqrt{2} = 18\sqrt{2}) см.

4. Площадь трапеции находится по формуле: [ S = \frac{a+b}{2} \times h ] где ( a ) и ( b ) – длины оснований трапеции, ( h ) – высота. Подставляя значения, получаем: [ S = \frac{9\sqrt{2} + 18\sqrt{2}}{2} \times 18 = \frac{27\sqrt{2}}{2} \times 18 = \frac{27 \times 18}{2} \times \sqrt{2} = 243\sqrt{2} \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции, в которой диагонали взаимно перпендикулярны и высота равна 18 см, составляет (243\sqrt{2}) квадратных сантиметров.