В равнобедренной прямоугольный треугольника вписан ромб так как, что один острый угол у ный общий а...

Для решения данной задачи можно воспользоваться свойствами равнобедренного прямоугольного треугольника и вписанного в него ромба.

Пусть катет прямоугольного треугольника равен (a = \frac{2 + \sqrt{2}}{5}). Так как треугольник равнобедренный, то гипотенуза будет равна (c = a\sqrt{2}).

Также известно, что вписанный в треугольник ромб обладает следующими свойствами:

1. Одна из его диагоналей равна стороне треугольника, на которой лежат вершины ромба.
2. Другая диагональ ромба является высотой треугольника, опущенной из вершины, в которой лежит вершина ромба.

Из этих свойств следует, что сторона ромба равна половине длины гипотенузы треугольника, т.е. (r = \frac{c}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}).

Подставив значение катета (a) в формулу для стороны ромба (r), получаем: (r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{(\frac{2 + \sqrt{2}}{5})\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{10} = \frac{\sqrt{2} + 1}{5}).

Таким образом, сторона вписанного ромба равна (\frac{\sqrt{2} + 1}{5}).

Давайте внимательно разберем задачу. У нас есть равнобедренный прямоугольный треугольник, в который вписан ромб. Один из острых углов ромба совпадает с острым углом треугольника, и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Нам нужно найти сторону ромба, если катет треугольника равен ((2+\sqrt{2})/5).

1. Рассмотрим свойства треугольника:

   • Равнобедренный прямоугольный треугольник имеет два равных катета. Обозначим их (a).
   • Поскольку это прямоугольный треугольник, гипотенуза (c) будет равна (a\sqrt{2}).

2. Дан катет треугольника:

   • Согласно условию, (a = \frac{2+\sqrt{2}}{5}).

3. Рассмотрим ромб:

   • Ромб вписан в треугольник так, что один из его острых углов совпадает с угол треугольника, равный 45 градусов.
   • Это означает, что ромб также будет иметь углы 45 и 135 градусов.

4. Найдем сторону ромба:

   • Заметим, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника.
   • Если обозначить сторону ромба через (x), то диагонали будут равны (x\sqrt{2}).

5. Связь между сторонами:

   • Поскольку ромб вписан в треугольник, его вершины лежат на катетах и гипотенузе треугольника.
   • Для нахождения (x), используем тот факт, что вершины ромба делят катеты треугольника на отрезки, соответствующие половине диагоналей ромба.

6. Решение:

   • Диагональ ромба вдоль катета делит его пополам, то есть одна из диагоналей ромба равна (a).
   • Таким образом, (x\sqrt{2} = a).
   • Подставим значение (a) в уравнение: (x\sqrt{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{5}).

7. Найдем (x): [ x = \frac{\frac{2+\sqrt{2}}{5}}{\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} ]

   • Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{2}), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: [ x = \frac{(2+\sqrt{2})\sqrt{2}}{10} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{10} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{10} = \frac{\sqrt{2} + 1}{5} ]

Таким образом, сторона ромба равна (\frac{\sqrt{2} + 1}{5}).