В правильный многоугольник со стороной 8 корней из 3 вписана окружность радиуса 12 см.Найти количество...

Для нахождения количества сторон правильного многоугольника, в который вписана окружность радиуса 12 см со стороной 8 корней из 3, нужно воспользоваться формулой для вычисления длины стороны правильного многоугольника:

s = 2 R sin$\pi /n$,

где s - длина стороны многоугольника, R - радиус вписанной окружности, n - количество сторон многоугольника.

Из условия задачи известно, что R = 12 см, а s = 8√3. Подставив эти значения в формулу, получаем:

8√3 = 2 12 sin$\pi /n$, 4√3 = 12 * sin$\pi /n$, sin$\pi /n$ = 1/3.

Теперь найдем количество сторон многоугольника, для чего найдем угол, соответствующий углу в центре многоугольника:

π/n = arcsin$1/3$, π/n ≈ 0.3398, n ≈ 9.25.

Так как количество сторон должно быть целым числом, то ближайшее целое число к 9.25 - это 9. Значит, в многоугольнике 9 сторон.

Для вычисления длины описанной около многоугольника окружности воспользуемся формулой:

r = R * cos$\pi /n$ / sin$\pi /n$,

где r - радиус описанной около многоугольника окружности. Подставив известные значения, получаем:

r = 12 cos$\pi /9$ / sin$\pi /9$, r ≈ 12 0.766 / 0.342, r ≈ 26.84 см.

Таким образом, длина описанной около девятиугольника окружности составляет приблизительно 26.84 см.

Для решения этой задачи начнем с анализа свойств правильного многоугольника и вписанной в него окружности.

1. Связь радиуса вписанной окружности с длиной стороны и количеством сторон: В правильном многоугольнике радиус вписанной окружности $r$ связан с длиной стороны $a$ и количеством сторон $n$ через формулу: $r=\frac{a}{2\tan (\pi /n)}$ Подставляя известные значения: $12=\frac{8\sqrt{3}}{2\tan (\pi /n)}$ Упрощаем: $12=\frac{4\sqrt{3}}{\tan (\pi /n)}$ Отсюда: $\tan (\pi /n)=\frac{4\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ Так как $\tan (\pi /6$ = \frac{1}{\sqrt{3}}), то: $\pi /n=\pi /6$ Откуда: $n=6$

2. Длина описанной окружности: Радиус описанной окружности $R$ у правильного многоугольника можно найти по формуле: $R=\frac{a}{2\sin (\pi /n)}$ Подставляя значения: $R=\frac{8\sqrt{3}}{2\sin (\pi /6)}=\frac{8\sqrt{3}}{2\cdot 0.5}=\frac{8\sqrt{3}}{1}=8\sqrt{3}$ Длина описанной окружности $C$ выражается через радиус $R$: $C=2\pi R=2\pi \cdot 8\sqrt{3}=16\pi \sqrt{3}\text{ см}$

Таким образом, количество сторон многоугольника $n=6$, и длина описанной окружности составляет $16\pi \sqrt{3}$ см.

Количество сторон многоугольника - 24, длина описанной окружности - 24π см.