В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а длина бокового ребра равна 4. Найдите...

Для решения данной задачи сначала найдем высоту боковой грани пирамиды, которая является равносторонним треугольником, а затем высоту самой пирамиды.

1. Высота равностороннего треугольника (боковой грани): Поскольку боковое ребро пирамиды равно 4, а основание треугольника (сторона основания пирамиды) равно 6, мы можем представить боковую грань как равносторонний треугольник с высотой ( h ), которую мы можем найти по формуле: [ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} ] Здесь ( a ) – длина бокового ребра, равная 4.

2. Высота пирамиды: Чтобы найти высоту пирамиды (обозначим её ( H )), воспользуемся понятием медианы в равностороннем треугольнике. Медиана в равностороннем треугольнике делит его на два равных прямоугольных треугольника и является также высотой. В нашем случае медиана равна ( \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} ), разделив пополам сторону основания и используя формулу для высоты равностороннего треугольника.

   Теперь мы можем найти ( H ) из прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза равна высоте боковой грани пирамиды (( \sqrt{7} )), один катет – это ( H ), а другой катет – это медиана основания пирамиды, равная ( 3\sqrt{3} ). Используя теорему Пифагора: [ H^2 + (3\sqrt{3})^2 = 7 ] [ H^2 + 27 = 7 ] [ H^2 = 7 - 27 = -20 ]

   Мы допустили ошибку в рассуждениях. Правильно будет так: высота ( \sqrt{7} ) – это высота боковой грани, и она не является гипотенузой. Правильный подход – высота пирамиды ( H ) должна рассчитываться через площадь треугольника: [ H = \sqrt{\left(\sqrt{7}\right)^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{7 - 27} = \sqrt{-20} ] Это неверно. Правильный расчет: [ H = \sqrt{4^2 - \left(\frac{6\sqrt{3}}{6}\right)^2} = \sqrt{16 - 3} = \sqrt{13} ] То есть, высота пирамиды равна ( \sqrt{13} ).

Для нахождения высоты правильной треугольной пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора. Рассмотрим боковой треугольник, образованный высотой, половиной стороны основания и боковым ребром. По теореме Пифагора, получаем уравнение:

(h^2 + (3)^2 = (4)^2)

(h^2 + 9 = 16)

(h^2 = 7)

(h = \sqrt{7})

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна (\sqrt{7}) или примерно 2.65 единицы длины.

Высота правильной треугольной пирамиды равна 2√3.