В правильной треугольной пирамиде боковая грань составляет с плоскостью основания угол 60°. Если апофема...

Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды можно найти суммируя площади основания, плюс площадь боковой поверхности.

Площадь основания треугольной пирамиды можно найти как площадь равностороннего треугольника с апофемой в 4. Для этого используем формулу: S = (a^2 √3) / 4, где a - длина стороны треугольника (апофема), √3 - корень из 3. S = (4^2 √3) / 4 = 4√3.

Площадь боковой поверхности можно найти как площадь поверхности боковой грани, умноженную на количество боковых граней. В правильной треугольной пирамиде всего 3 боковые грани. Площадь боковой грани можно найти как (периметр основания апофема) / 2. В данном случае периметр основания равен 3a, где a - длина стороны треугольника (апофема). Sб = (3a 4) / 2 = 6a.

Теперь найдем площадь полной поверхности пирамиды: Sп = Sосн + Sб = 4√3 + 6a = 4√3 + 6 * 4 = 4√3 + 24.

Итак, площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды с углом 60° между боковой гранью и плоскостью основания, и апофемой равной 4, равна 4√3 + 24.

Для решения задачи необходимо использовать свойства правильной треугольной пирамиды. Давайте разберемся с данными, которые у нас есть, и найдем площадь полной поверхности пирамиды.

1. Дано:

   • Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен (60^\circ).
   • Апофема боковой грани (высота боковой грани) равна 4.

2. Центр основания и высота пирамиды:

   • В правильной треугольной пирамиде основание — это правильный треугольник.
   • Апофема боковой грани составляет угол (60^\circ) с плоскостью основания. Поскольку апофема — это высота равнобедренного треугольника (боковой грани), то она также является медианой и биссектрисой.

3. Найдем высоту пирамиды:

   • Пусть (h) — высота пирамиды, а (l) — апофема боковой грани.
   • (\cos(60^\circ) = \frac{h}{l} = \frac{h}{4} = \frac{1}{2}).
   • Отсюда (h = 2).

4. Найдем сторону основания:

   • В центре основания находится точка, через которую проходит высота пирамиды.
   • Используем теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и апофемой: [ r^2 + h^2 = l^2, ] где (r) — радиус вписанной окружности основания.
   • ((\frac{a\sqrt{3}}{6})^2 + 2^2 = 4^2), где (a) — сторона основания.
   • (\frac{a^2}{12} + 4 = 16).
   • (\frac{a^2}{12} = 12).
   • (a^2 = 144).
   • (a = 12).

5. Площадь полной поверхности пирамиды:

   • Площадь основания (S{\text{осн}}) равна площади правильного треугольника: [ S{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3}. ]
   • Площадь боковой поверхности (три боковые грани):
     • Площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника) равна: [ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times a \times l = \frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24. ]
     • Площадь всех трех боковых граней: [ S_{\text{бок общ}} = 3 \times 24 = 72. ]

6. Полная площадь поверхности пирамиды: [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок общ}} = 36\sqrt{3} + 72. ]

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна (36\sqrt{3} + 72).