В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 15 см, а апофема 17 см. найдите площадь полной поверхности...

Для начала найдем боковую грань пирамиды, используя теорему Пифагора. По условию, высота (h) равна 15 см, а апофема (l) равна 17 см. Тогда боковая грань (a) равна: a = sqrt(l^2 - (h/2)^2) a = sqrt(17^2 - (15/2)^2) a = sqrt(289 - 112.5) a = sqrt(176.5) a ≈ 13.29 см

Теперь можем найти площадь полной поверхности пирамиды. Полная поверхность пирамиды равна сумме площадей основания и боковой поверхности. По условию, основание пирамиды - четырехугольник, так что его площадь равна площади квадрата со стороной апофемы: S_base = l^2 S_base = 17^2 S_base = 289 см^2

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей треугольников, образованных боковыми гранями: S_side = 4 (1/2 a l) S_side = 4 (1/2 13.29 17) S_side = 4 (1/2 13.29 17) S_side = 4 113.13 S_side = 452.52 см^2

Итак, площадь полной поверхности пирамиды равна: S = S_base + S_side S = 289 + 452.52 S = 741.52 см^2

Наконец, найдем объем пирамиды. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = (1/3) S_base h V = (1/3) 289 15 V = 1445 см^3

Итак, площадь полной поверхности пирамиды равна 741.52 см^2, а объем пирамиды равен 1445 см^3.

Чтобы найти площадь полной поверхности и объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 15 см и апофемой 17 см, начнем с анализа данных и применения геометрических формул.

Шаг 1: Нахождение длины бокового ребра

Апофема пирамиды — это высота боковой грани, опущенная перпендикулярно на сторону основания. В данном случае апофема (h_A) и высота пирамиды (h) образуют прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это боковое ребро (l). Применим теорему Пифагора:

[ l^2 = h_A^2 + h^2 ]

Подставляем известные значения:

[ l^2 = 17^2 + 15^2 ] [ l^2 = 289 + 225 ] [ l^2 = 514 ] [ l = \sqrt{514} ] [ l \approx 22.7 \, \text{см} ]

Шаг 2: Нахождение длины стороны основания

Теперь найдём длину стороны основания (a) правильной четырехугольной пирамиды. Апофема, высота и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. Используем теорему Пифагора для этого треугольника:

[ h_A^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 ]

Подставляем известные значения:

[ 17^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 15^2 ] [ 289 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 225 ] [ 289 - 225 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 ] [ 64 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 ] [ \frac{a}{2} = \sqrt{64} ] [ \frac{a}{2} = 8 ] [ a = 16 \, \text{см} ]

Шаг 3: Площадь основания

Площадь основания пирамиды (S_осн) — это площадь квадрата со стороной ( a ):

[ S_осн = a^2 ] [ S_осн = 16^2 ] [ S_осн = 256 \, \text{см}^2 ]

Шаг 4: Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности (S_бок) равна сумме площадей четырех треугольников, которые образуют боковые грани пирамиды. Площадь одного треугольника (S_треуг) равна:

[ S_треуг = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота ] [ S_треуг = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_A ] [ S_треуг = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 17 ] [ S_треуг = 136 \, \text{см}^2 ]

Поскольку всего четыре таких треугольника:

[ S_бок = 4 \cdot S_треуг ] [ S_бок = 4 \cdot 136 ] [ S_бок = 544 \, \text{см}^2 ]

Шаг 5: Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности пирамиды (S_полн) равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

[ S_полн = S_осн + S_бок ] [ S_полн = 256 + 544 ] [ S_полн = 800 \, \text{см}^2 ]

Шаг 6: Объем пирамиды

Объем пирамиды (V) рассчитывается по формуле:

[ V = \frac{1}{3} \cdot S_осн \cdot h ] [ V = \frac{1}{3} \cdot 256 \cdot 15 ] [ V = \frac{1}{3} \cdot 3840 ] [ V = 1280 \, \text{см}^3 ]

Итог

Площадь полной поверхности пирамиды: 800 см²
Объем пирамиды: 1280 см³