В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60 градусам. Найдите боковое ребро пирамиды.
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60 градусам. Найдите боковое ребро пирамиды.
Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду, в которой каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 60 градусов. Пусть сторона основания пирамиды равна 6 см.
Нахождение высоты пирамиды (H): В правильной четырехугольной пирамиде основание является квадратом. Следовательно, диагональ основания можно найти по формуле диагонали квадрата (d = a\sqrt{2}), где (a) - сторона квадрата. В нашем случае (a = 6) см, тогда (d = 6\sqrt{2}) см.
Так как пирамида правильная, её высота (H) опускается в центр основания, который также является центром описанной окружности вокруг основания. Радиус описанной окружности (R) равен половине диагонали основания, то есть (R = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}) см.
Теперь, зная угол наклона боковой грани (60 градусов) и радиус описанной окружности, можно использовать тригонометрическую функцию для нахождения высоты пирамиды. Поскольку тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания равен отношению противолежащего катета (высоты пирамиды (H)) к прилежащему катету (радиусу описанной окружности (R)): [ \tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{H}{3\sqrt{2}} ] Откуда [ H = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6} \text{ см} ]
Нахождение бокового ребра (L): Боковое ребро пирамиды является гипотенузой прямоугольного треугольника, где один катет - это радиус описанной окружности (3\sqrt{2} см), а другой - высота пирамиды (3\sqrt{6} см). Используя теорему Пифагора: [ L^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{6})^2 = 18 + 54 = 72 ] [ L = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ см} ] Итак, боковое ребро пирамиды равно 6\sqrt{2} см.
Чтобы найти боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды, воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим боковое ребро как (c).
Пусть (a) - сторона основания, (h) - высота пирамиды, (A) - угол наклона боковой грани к плоскости основания. Тогда можем составить уравнение:
[ c^2 = a^2 + h^2 - 2ah \cdot \cos A ]
У нас дано, что (a = 6 см), (A = 60^\circ = \frac{\pi}{3} рад). Так как пирамида правильная, то у неё высота равна (h = \frac{a\sqrt{2}}{2}). Подставляем данные в уравнение:
[ c^2 = 6^2 + \left(\frac{6\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 2 \cdot 6 \cdot \frac{6\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{3} ] [ c^2 = 36 + 18 - 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ c^2 = 54 - 18\sqrt{3} ] [ c = \sqrt{54 - 18\sqrt{3}} \approx \sqrt{9} = 3 см ]
Итак, боковое ребро пирамиды равно 3 см.
Боковое ребро пирамиды равно 6√3 см.
