В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а боковое ребро 10 см. Найдите объем пирамиды и S полной поверхности.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а боковое ребро 10 см. Найдите объем пирамиды и S полной поверхности.
Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся формулой:
V = (1/3) S_основания h,
где S_основания - площадь основания, h - высота пирамиды.
Поскольку у нас четырехугольная пирамида, то площадь основания можно найти как площадь квадрата со стороной 12 см:
S_основания = 12^2 = 144 см^2.
Для нахождения высоты пирамиды можем воспользоваться теоремой Пифагора:
h = sqrt(10^2 - (12/2)^2) = sqrt(100 - 36) = sqrt(64) = 8 см.
Теперь найдем объем пирамиды:
V = (1/3) 144 8 = 384 см^3.
Для нахождения площади полной поверхности пирамиды воспользуемся формулой:
S = S_основания + S_боковой_поверхности,
где S_боковой_поверхности - площадь боковой поверхности пирамиды.
Площадь боковой поверхности можно найти как сумму площадей всех боковых граней:
S_боковой_поверхности = 4 (1/2) p l = 4 (1/2) 12 10 = 240 см^2.
Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды:
S = 144 + 240 = 384 см^2.
Объем пирамиды V = (1/3) S_осн h, где S_осн - площадь основания, h - высота пирамиды.
S_осн = (1/2) a p, где a - сторона основания, p - периметр основания.
S_бок = (1/2) p l, где l - боковое ребро.
S_полн = S_осн + S_бок.
Для данной пирамиды: p = 4 a = 4 12 = 48 см. S_осн = (1/2) 12 48 = 288 см^2. S_бок = (1/2) 48 10 = 240 см^2. S_полн = 288 + 240 = 528 см^2.
h = sqrt(l^2 - (a/2)^2) = sqrt(10^2 - 6^2) = 8 см. V = (1/3) 288 8 = 192 см^3.
Таким образом, объем пирамиды равен 192 см^3, а площадь полной поверхности равна 528 см^2.
Чтобы найти объем и площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, необходимо выполнить несколько шагов.
Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание. Пусть основание — квадрат со стороной (a = 12) см. Боковое ребро равно 10 см. Обозначим высоту пирамиды через (h).
Используем теорему Пифагора в треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой (высотой боковой грани) и половиной диагонали основания. Диагональ (d) квадрата со стороной (a) равна:
[ d = a \sqrt{2} = 12 \sqrt{2} ]
Половина диагонали равна:
[ \frac{d}{2} = \frac{12 \sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} ]
В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это боковое ребро, катеты — высота пирамиды (h) и половина диагонали основания. Применим теорему Пифагора:
[ 10^2 = h^2 + (6\sqrt{2})^2 ]
[ 100 = h^2 + 72 ]
[ h^2 = 28 ]
[ h = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ см} ]
Объем пирамиды (V) рассчитывается по формуле:
[ V = \frac{1}{3} S_{осн} h ]
где (S_{осн}) — площадь основания. Для квадрата:
[ S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \text{ см}^2 ]
Таким образом, объем пирамиды:
[ V = \frac{1}{3} \times 144 \times 2\sqrt{7} = 96\sqrt{7} \text{ см}^3 ]
Площадь полной поверхности (S_{\text{полная}}) складывается из площади основания и площади четырех боковых граней (треугольников).
Площадь боковой грани (равнобедренного треугольника) (S_{\text{бок}}) можно найти, зная основание треугольника и его высоту (апофему). Апофема (l) находится по теореме Пифагора в треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания:
[ l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 ]
[ l^2 = (2\sqrt{7})^2 + 6^2 ]
[ l^2 = 28 + 36 = 64 ]
[ l = 8 \text{ см} ]
Площадь боковой грани:
[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times a \times l = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \text{ см}^2 ]
Поскольку у пирамиды 4 боковые грани, общая площадь боковых поверхностей:
[ S_{\text{боковые}} = 4 \times 48 = 192 \text{ см}^2 ]
Итак, полная площадь поверхности:
[ S{\text{полная}} = S{осн} + S_{\text{боковые}} = 144 + 192 = 336 \text{ см}^2 ]
Ответ: Объем пирамиды (V = 96\sqrt{7} \text{ см}^3). Полная площадь поверхности (S_{\text{полная}} = 336 \text{ см}^2).
