В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна a, угол между смежными боковыми гранями...

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна S = 2 a h, где h - высота боковой грани пирамиды. Так как угол между смежными боковыми гранями равен 120 градусов, то треугольник, образованный этими гранями, является равнобедренным. Следовательно, h = a √3 / 2. Подставив выражение для h, получаем S = a^2 √3.

Для решения этой задачи нам нужно определить площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, зная, что сторона основания равна (a), а угол между смежными боковыми гранями равен (120^\circ).

1. Определение параметров пирамиды:

   Поскольку пирамида правильная, основание — квадрат со стороной (a). Вершина пирамиды проецируется в центр основания. Пусть высота пирамиды равна (h), а апофема боковой грани — (l). Нам нужно найти (l), чтобы вычислить площадь боковой поверхности.

2. Работа с углом между боковыми гранями:

   Угол между смежными боковыми гранями в правильной пирамиде формируется между их апофемами. Давайте обозначим апофему боковой грани как (l). Поскольку угол между этими апофемами равен (120^\circ), можно использовать тригонометрию для нахождения (l).

3. Использование треугольников:

   Внутри пирамиды рассмотрим треугольник, который соединяет центр основания, вершину пирамиды и середину стороны основания. Это прямоугольный треугольник с гипотенузой (l) (апофемой) и половиной стороны основания (\frac{a}{2}) в качестве одного из катетов. Высота (h) пирамиды является вторым катетом.

   Согласно теореме Пифагора: [ l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 ]

4. Использование угла между апофемами:

   Угол между апофемами смежных боковых граней равен (120^\circ). Эти апофемы образуют равнобедренный треугольник с боковой стороной (l) и основанием равным стороне основания (a).

   В этом треугольнике можно выразить высоту от вершины пирамиды к серединной линии основания через косинус угла: [ \cos(60^\circ) = \frac{\frac{a}{2}}{l} ]

   Так как (\cos(60^\circ) = 0.5), то: [ 0.5 = \frac{\frac{a}{2}}{l} \implies l = a ]

5. Вычисление площади боковой поверхности:

   Боковая поверхность пирамиды состоит из четырёх равнобедренных треугольников с основанием (a) и боковыми сторонами (l = a).

   Площадь одного такого треугольника равна: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} ]

   Площадь боковой поверхности пирамиды будет в четыре раза больше: [ S = 4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = a^2 \sqrt{3} ]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна (a^2 \sqrt{3}).

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить высоту боковой грани пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике, образованном боковой гранью, высотой пирамиды и половиной диагонали основания.

Пусть h - высота боковой грани, тогда:

cos(120°) = (a/2) / h

h = (a/2) / cos(120°) = a / (2 * cos(120°))

Теперь, когда мы нашли высоту боковой грани, можем вычислить площадь боковой поверхности пирамиды по формуле:

Sб = (1/2) a p,

где p - периметр основания пирамиды.

Так как у нас правильная четырёхугольная пирамида, периметр основания равен:

p = 4a

Итак, площадь боковой поверхности пирамиды:

Sб = (1/2) a a / (2 cos(120°)) 4 = 2a^2 / (2 * cos(120°)) = a^2 / cos(120°)

Таким образом, площадь боковой поверхности данной правильной четырёхугольной пирамиды равна a^2 / cos(120°).