В правильной четырехугольной пирамиде Sabcd высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8.Точки...

Для решения данной задачи сначала найдем необходимые элементы геометрии пирамиды, а затем используем их для вычисления искомого тангенса угла.

1. Найдем сторону основания квадрата ABCD: Поскольку BD – диагональ квадрата и BD = 8, то сторона квадрата a можно найти из соотношения (a \sqrt{2} = 8), откуда (a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}).

2. Координаты точек: Пусть точка A находится в начале координат, B – на оси x, C – в плоскости xy, D – на оси y. Тогда:

   • A(0,0,0)
   • B(4√2, 0, 0)
   • C(4√2, 4√2, 0)
   • D(0, 4√2, 0)
   • S(2√2, 2√2, 13) – вершина пирамиды, так как пирамида правильная, и S должна проецироваться в центр квадрата.

3. Координаты точек K и M:

   • K – середина CD, ( K = \left(\frac{4\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2}, \frac{4\sqrt{2} + 0}{2}, 0\right) = (4\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 0))
   • M – середина BC, ( M = \left(\frac{4\sqrt{2} + 0}{2}, \frac{0 + 4\sqrt{2}}{2}, 0\right) = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 0))

4. Векторы SM и SK:

   • SM = (0, 0, -13)
   • SK = (2√2, 0, -13)

5. Векторное произведение SM и SK (нормаль к плоскости SMK):

   • SM x SK = ((-13)(-0) - 0(0), -13(2\sqrt{2}) - 0(-13), 0(0) - (2\sqrt{2})(0))
   • SM x SK = (0, -26√2, 0)

6. Нормаль к плоскости основания ABCD – (0, 0, 1).

7. Тангенс угла между плоскостями SMK и ABCD: Тангенс угла между двумя плоскостями можно найти, используя скалярное произведение их нормалей и модули нормалей. Угол между нормалями – это же угол между плоскостями.

   • Скалярное произведение: (0, -26√2, 0) • (0, 0, 1) = 0
   • Модули нормалей: |SM x SK| = 26√2, |(0, 0, 1)| = 1
   • Так как скалярное произведение равно 0, угол между нормалями составляет 90°.

Таким образом, тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания ABCD равен 0, так как угол между ними прямой.

Для нахождения тангенса угла между плоскостью SMK и плоскостью основания ABC в правильной четырехугольной пирамиде Sabcd, нам необходимо рассмотреть треугольник KSM.

Поскольку точки K и M являются серединами ребер CD и BC соответственно, то отрезок KM является медианой треугольника SBC. Так как пирамида является правильной, то треугольник SBC также является равнобедренным, а значит, медиана KM равна половине основания BC, то есть KM = 4.

Также из условия известно, что высота пирамиды SO равна 13. Поскольку треугольник SBO является прямоугольным, то можем применить теорему Пифагора: SB^2 = SO^2 - BO^2. Имеем 8^2 = 13^2 - BO^2, откуда BO = 5.

Теперь можем найти длину отрезка SM. Так как KM является медианой треугольника SBC, то SM = 1/2 * BC = 4.

Теперь можем рассмотреть треугольник SKM. Найдем тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания ABC. Для этого нужно найти соотношение между сторонами треугольника SKM. Так как у нас есть стороны SM и KM, можем использовать теорему тангенсов: tg(угла SKM) = SM / KM = 4 / 4 = 1.

Итак, тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания ABC равен 1.