В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60 градусов.Высота...

Чтобы найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нужно рассчитать площадь её основания и площадь всех её боковых граней.

1. Определим длину апофемы (s):

Апофема образует с плоскостью основания угол 60 градусов, а высота пирамиды (h) равна 6 см. Апофема в данном случае является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором высота пирамиды является одним из катетов, а другой катет — это половина стороны основания (a/2).

Используем тригонометрическую функцию косинуса: [ \cos(60^\circ) = \frac{h}{s} ]

Поскольку (\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}): [ \frac{1}{2} = \frac{6}{s} ] [ s = 12 \text{ см} ]

1. Определим сторону основания (a):

В прямоугольном треугольнике, который образован высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой, можно использовать теорему Пифагора: [ s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 ]

Подставим известные значения: [ 12^2 = 6^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 ] [ 144 = 36 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 ] [ 108 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 ] [ \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 108 ] [ \frac{a}{2} = \sqrt{108} ] [ a = 2\sqrt{108} ] [ a = 2 \cdot 6\sqrt{3} ] [ a = 12\sqrt{3} \text{ см} ]

1. Найдём площадь основания (S_осн):

Основание пирамиды — правильный четырехугольник (квадрат): [ S\text{осн} = a^2 ] [ S\text{осн} = (12\sqrt{3})^2 ] [ S\text{осн} = 144 \cdot 3 ] [ S\text{осн} = 432 \text{ см}^2 ]

1. Найдём площадь боковой поверхности (S_бок):

Каждая боковая грань пирамиды — это равнобедренный треугольник с основанием a и высотой, равной апофеме (s). Всего таких треугольников 4.

Площадь одного треугольника: [ S\text{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot s ] [ S\text{тр} = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 12 ] [ S_\text{тр} = 72\sqrt{3} ]

Общая площадь боковых поверхностей: [ S\text{бок} = 4 \cdot S\text{тр} ] [ S\text{бок} = 4 \cdot 72\sqrt{3} ] [ S\text{бок} = 288\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

1. Найдём общую площадь поверхности пирамиды (S_общ):

[ S\text{общ} = S\text{осн} + S\text{бок} ] [ S\text{общ} = 432 + 288\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет (432 + 288\sqrt{3}) квадратных сантиметров.

Для начала рассмотрим треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и линией, проведенной от вершины пирамиды до середины стороны основания. Такой треугольник является равносторонним, так как угол между апофемой и плоскостью основания равен 60 градусов. Таким образом, длина стороны основания равна 6 см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности равна полупериметру основания, умноженному на длину апофемы. Полупериметр основания равен 1/2 4 6 = 12 см. Площадь боковой поверхности равна 12 * 6 = 72 кв.см.

Теперь найдем площадь основания. Она равна 6 * 6 = 36 кв.см.

Итак, общая площадь поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: 72 + 36 = 108 кв.см.