В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла,...

Рассмотрим прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ), где ( \angle C = 90^\circ ). Пусть ( CD ) — высота, а ( CE ) — биссектриса, проведённые из вершины ( C ). По условию, угол между высотой и биссектрисой, то есть ( \angle DCE ), равен ( 18^\circ ).

В треугольнике ( \triangle ABC ) сумма всех углов равна ( 180^\circ ). Следовательно, сумма острых углов ( \angle A ) и ( \angle B ) равна ( 90^\circ ).

Теперь рассмотрим треугольник ( \triangle CDE ), где ( \angle DCE = 18^\circ ). Поскольку ( CD ) — высота, угол ( \angle DCA = 90^\circ - \angle A ), а ( CE ) — биссектриса, угол ( \angle ECB = 90^\circ - \angle B ).

Мы знаем, что ( \angle DCE = 18^\circ ), следовательно, угол ( \angle AEC = \angle ECD = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ ).

Теперь рассмотрим сумму углов вокруг точки ( C ):

[ \angle A + \angle B = 90^\circ. ]

Пусть ( \angle A ) будет меньшим из двух острых углов, то есть ( \angle A < \angle B ). Тогда, если ( \angle A = x ), то ( \angle B = 90^\circ - x ).

Используя соотношение углов в треугольнике ( \triangle CDE ), мы можем сделать вывод, что:

[ \angle A = 18^\circ + \angle DCE = 18^\circ + 72^\circ = 90^\circ - x. ]

Однако, поскольку ( \angle A = x ), мы можем переписать:

[ x = 18^\circ. ]

Таким образом, меньший угол ( \angle A ) треугольника равен ( 18^\circ ).

Меньший угол прямоугольного треугольника равен 36 градусов.

Пусть меньший угол прямоугольного треугольника равен x градусов. Так как угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 18 градусов, то оставшийся угол равен 90 - 18 = 72 градуса.

Теперь обратимся к треугольнику, который образован высотой и биссектрисой. В этом треугольнике сумма углов равна 180 градусов. Поскольку один из углов равен 18 градусов, а другой равен 90 градусов, то третий угол равен 180 - 18 - 90 = 72 градуса.

Таким образом, меньший угол прямоугольного треугольника равен 72 градуса.