В прямоугольном треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из вершины прямого угла, образуют угол...

В прямоугольном треугольнике, обозначим его вершины как ( A ), ( B ) и ( C ), где ( A ) — это вершина прямого угла, а ( B ) и ( C ) — это вершины, образующие острые углы. Пусть угол ( A ) равен ( 90^\circ ), угол ( B ) равен ( \alpha ), а угол ( C ) равен ( \beta ). По свойству треугольника знаем, что ( \alpha + \beta = 90^\circ ).

Из вершины ( A ) проведены медиана ( AM ) и биссектриса ( AD ), где ( M ) — середина отрезка ( BC ), а ( D ) — точка на стороне ( BC ), делящая угол ( A ) пополам. Условие задачи гласит, что угол между медианой и биссектрисой равен ( 10^\circ ):

[ \angle MAD = 10^\circ. ]

Теперь определим углы ( \angle BAM ) и ( \angle DAC ). Угол ( \angle BAM ) равен половине угла ( B ), то есть ( \angle BAM = \frac{\alpha}{2} ). Угол ( \angle DAC ) равен половине угла ( C ), то есть ( \angle DAC = \frac{\beta}{2} ).

Теперь мы можем записать для угла ( \angle MAD ):

[ \angle MAD = \angle BAM + \angle DAC = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ. ]

Однако это не учитывает угол между медианой и биссектрисой. Угол между медианой и биссектрисой можно выразить так:

[ \angle MAD = \angle BAM - \angle DAC = \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha - \beta}{2}. ]

Теперь, по условию задачи:

[ \frac{\alpha - \beta}{2} = 10^\circ. ]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

[ \alpha - \beta = 20^\circ. ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( \alpha + \beta = 90^\circ )
2. ( \alpha - \beta = 20^\circ )

Решим эту систему. Сложим оба уравнения:

[ (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 90^\circ + 20^\circ, ] что дает:

[ 2\alpha = 110^\circ \implies \alpha = 55^\circ. ]

Теперь подставим значение ( \alpha ) в первое уравнение:

[ 55^\circ + \beta = 90^\circ \implies \beta = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ. ]

Итак, острые углы данного прямоугольного треугольника:

[ \alpha = 55^\circ, \quad \beta = 35^\circ. ]

Давайте решим задачу подробно и поэтапно.

Что дано:

1. У нас есть прямоугольный треугольник ( ABC ), где ( \angle C = 90^\circ ).
2. Медиана ( CM ) и биссектриса ( CL ), проведённые из вершины ( C ), образуют угол ( \angle MCL = 10^\circ ).
3. Требуется найти острые углы треугольника ( \angle A ) и ( \angle B ).

Обозначения:

• Пусть гипотенуза треугольника — ( AB ).
• Точка ( M ) — середина гипотенузы ( AB ) (так как ( CM ) — медиана).
• ( CL ) — биссектриса угла ( \angle ACB ), делящая его на равные части.
• Углы ( \angle A ) и ( \angle B ) обозначим соответственно за ( \alpha ) и ( \beta ), где (\alpha + \beta = 90^\circ) (сумма острых углов в прямоугольном треугольнике).

Разберёмся с углами:

1. Угол ( \angle MCL = 10^\circ ) дан. Этот угол образован медианой ( CM ) и биссектрисой ( CL ).
2. Биссектриса ( CL ) делит угол ( \angle ACB = 90^\circ ) пополам, то есть: [ \angle ACL = \angle BCL = 45^\circ. ]
3. Угол ( \angle MCL ) (между медианой и биссектрисой) равен ( 10^\circ ). Следовательно, угол между медианой ( CM ) и стороной ( BC ) (угол ( \angle MCB )) можно найти: [ \angle MCB = \angle BCL - \angle MCL = 45^\circ - 10^\circ = 35^\circ. ]

Теперь у нас есть информация об угле ( \angle MCB = 35^\circ ).

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике:

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Кроме того, медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника. Это подсказывает, что треугольник симметричен относительно медианы.

Решение через углы:

Угол ( \angle MCB = 35^\circ ) и известное свойство треугольника позволяют нам выразить углы ( \alpha ) и ( \beta ).

1. В треугольнике ( \triangle MCB ):

   • ( \angle MCB = 35^\circ ),
   • ( \angle BCM = \alpha ) (так как ( \angle B ) в исходном треугольнике переходит в этот угол),
   • Сумма углов треугольника равна ( 180^\circ ), поэтому: [ \angle CMB = 180^\circ - \angle MCB - \angle BCM = 180^\circ - 35^\circ - \alpha. ]

2. Но треугольник ( \triangle MCB ) является равнобедренным (так как ( CM = MB ), медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы). Значит, углы при основании равны: [ \angle BCM = \angle CMB. ]

3. Подставим это равенство: [ \alpha = 180^\circ - 35^\circ - \alpha. ]

4. Решая уравнение, получаем: [ 2\alpha = 145^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha = 72.5^\circ. ]

5. Тогда второй острый угол: [ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 72.5^\circ = 17.5^\circ. ]

Ответ:

Острые углы треугольника: [ \alpha = 72.5^\circ, \quad \beta = 17.5^\circ. ]