В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла с градусной мерой 60 градусов равно 12 см Найдите...

Чтобы решить задачу, начнем с анализа условий. У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов равен 60 градусам. Биссектриса этого угла имеет длину 12 см. Нам нужно найти больший катет треугольника.

Обозначим треугольник как ( \triangle ABC ), где ( \angle A = 60^\circ ), ( \angle B = 30^\circ ), и ( \angle C = 90^\circ ). Пусть ( AB = c ) — гипотенуза, ( BC = a ) — меньший катет, и ( AC = b ) — больший катет. Биссектриса ( AD ) делит угол ( \angle A ) пополам, следовательно, ( \angle BAD = \angle CAD = 30^\circ ).

По теореме о биссектрисе в треугольнике, отношение длин отрезков, на которые делится противоположная сторона, равно отношению длин прилежащих сторон: [ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} ]

Поскольку ( AD ) — биссектриса угла в 60 градусов, мы можем использовать теорему о длине биссектрисы: [ AD = \frac{2bc \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right)}{b + c} ] Подставляя известные значения: [ AD = \frac{2bc \cdot \cos(30^\circ)}{b + c} = \frac{2bc \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{b + c} = \frac{bc\sqrt{3}}{b + c} ]

Поскольку ( AD = 12 ) см, у нас получается уравнение: [ \frac{bc\sqrt{3}}{b + c} = 12 ]

Теперь, зная, что ( \angle B = 30^\circ ), мы можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике: [ b = a\sqrt{3} ]

Подставим это в уравнение для биссектрисы: [ \frac{(a\sqrt{3})c\sqrt{3}}{a\sqrt{3} + c} = 12 ] [ \frac{3ac}{a\sqrt{3} + c} = 12 ]

Известно, что в прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов катеты соотносятся как 1:(\sqrt{3}), и гипотенуза в два раза больше меньшего катета. Следовательно, ( c = 2a ).

Подставим это в уравнение: [ \frac{3a(2a)}{a\sqrt{3} + 2a} = 12 ] [ \frac{6a^2}{a(\sqrt{3} + 2)} = 12 ]

Сократим ( a ): [ \frac{6a}{\sqrt{3} + 2} = 12 ]

Решим это уравнение: [ 6a = 12(\sqrt{3} + 2) ] [ a = 2(\sqrt{3} + 2) ]

Теперь найдем больший катет: [ b = a\sqrt{3} = 2(\sqrt{3} + 2)\sqrt{3} ] [ b = 2(3 + 2\sqrt{3}) ] [ b = 6 + 4\sqrt{3} ]

Таким образом, больший катет треугольника равен ( 6 + 4\sqrt{3} ) см.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства прямоугольного треугольника и биссектрисы угла.

По определению биссектрисы, она делит противоположный катет на две части, пропорциональные прилежащим катетам. Таким образом, мы можем составить пропорцию:

( \frac{12}{x} = \frac{a}{b} ),

где x - длина противоположного катета, a и b - длины катетов треугольника.

Так как у нас известно, что биссектриса делит противоположный катет на две части, то a + b = x. Также известно, что угол при основании треугольника равен 90 градусов, следовательно, a + b + x = 180.

Решив данную систему уравнений, мы получим, что больший катет данного треугольника равен 18 см.