В прямоугольном треугольнике АВС, угол С - прямой, АВ = 12, АС = 6. Найдите градусную меру угла А.

Для нахождения градусной меры угла А воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим угол A через α. Так как угол C прямой, то угол B будет равен 90 градусов.

Используем теорему косинусов для нахождения стороны BC: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2ABACcos(α) BC^2 = 12^2 + 6^2 - 2126cos(α) BC^2 = 144 + 36 - 144cos(α) BC^2 = 180 - 144cos(α)

Так как треугольник прямоугольный, то угол A будет противоположен стороне BC. Из тригонометрических свойств прямоугольного треугольника, мы знаем, что cos(α) = AC / AB = 6 / 12 = 0.5.

Подставляем это значение в уравнение для стороны BC: BC^2 = 180 - 144*0.5 BC^2 = 180 - 72 BC^2 = 108 BC = √108 = 6√3

Теперь, чтобы найти угол А, воспользуемся тригонометрическим соотношением для косинуса: cos(α) = AC / BC cos(α) = 6 / 6√3 cos(α) = 1 / √3 cos(α) = √3 / 3

Отсюда получаем, что α = arccos(√3 / 3) ≈ 30 градусов.

Итак, градусная мера угла A равна 30 градусов.

В прямоугольном треугольнике угол С является прямым, что означает, что треугольник АВС подчиняется теореме Пифагора. Однако, чтобы найти градусную меру угла A, мы можем использовать тригонометрические функции.

В данном случае у нас есть стороны АВ и АС, и нам нужно найти угол A. Мы можем использовать косинус или синус угла А:

1. Синус угла A: Синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. В нашем треугольнике, противолежащим катетом для угла A является сторона ВС, а гипотенузой — АВ. Однако, чтобы использовать это отношение, сначала нужно найти длину ВС по теореме Пифагора:

   [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]

   Подставим известные значения:

   [ 12^2 = 6^2 + BC^2 \ 144 = 36 + BC^2 \ BC^2 = 108 \ BC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} ]

   Теперь используем синус:

   [ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

   Синус угла равен (\frac{\sqrt{3}}{2}), что соответствует углу 60 градусов.

2. Косинус угла A: Косинус угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащим катетом для угла A является сторона AC.

   [ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} ]

   Косинус угла равен (\frac{1}{2}), что соответствует углу 60 градусов.

Таким образом, градусная мера угла A равна 60 градусов.