В прямоугольном треугольнике АВС (угол С=90°) биссектриссы CD и BE пересекаются в точке О. Угол ВОС=95°...

Больший острый угол треугольника АВС равен 70°.

(См. рисунок)

Для того чтобы найти больший острый угол треугольника АВС, обратимся к свойствам треугольников.

Учитывая, что угол С равен 90°, а угол ВОС равен 95°, мы можем найти угол В по следующему принципу:

Угол В = угол ВОС - угол ВОСА.

Так как угол ВОСА равен углу ВОА (так как ОА является биссектрисой угла ВАС), то угол ВОСА равен 90° - угол ВАО.

Таким образом, угол В = 95° - (90° - угол ВАО) = 5° + угол ВАО.

Так как угол ВАО является острым углом треугольника АВС, то чтобы найти наибольший острый угол, нужно найти значение угла ВАО.

Для этого обратимся к тому, что точка О является точкой пересечения биссектрис CD и BE. Это означает, что угол ВАО = угол ВАС / 2.

Таким образом, наибольший острый угол треугольника АВС равен 2 угол В = 2 (5° + угол ВАО) = 10° + 2 * угол ВАО.

Для того чтобы найти значение угла ВАО, нужно использовать свойства прямоугольных треугольников и биссектрис. Рисунок и подробности решения могут быть представлены в учебных пособиях по геометрии.

Давайте разберёмся с данной задачей, используя свойства биссектрис и углы в треугольнике.

1. Основные свойства:

   • В прямоугольном треугольнике ( \triangle ABC ) угол ( \angle C = 90^\circ ).
   • Биссектрисы ( CD ) и ( BE ) разбивают углы ( \angle ACB ) и ( \angle ABC ) пополам, и пересекаются в точке ( O ).

2. Углы между биссектрисами:

   • Известно, что угол ( \angle BOC = 95^\circ ).

3. Рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ):

   • В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна ( 90^\circ ), то есть ( \angle A + \angle B = 90^\circ ).

4. Работа с биссектрисами:

   • Поскольку ( BE ) и ( CD ) — биссектрисы углов ( \angle ABC ) и ( \angle ACB ) соответственно, они делят эти углы пополам: [ \angle ABE = \frac{\angle ABC}{2}, \quad \angle ACD = \frac{\angle ACB}{2}. ]

5. Построение уравнения:

   • В четырёхугольнике ( BOCD ), сумма углов равна ( 360^\circ ).
   • Можно записать: [ \angle BOC + \angle BDC + \angle DCB + \angle CBE = 360^\circ. ]

6. Используем свойство биссектрис:

   • Учитывая, что ( \angle BOC = 95^\circ ), и рассматривая, что ( \angle BDC ) и ( \angle CBE ) являются внешними углами при вершинах ( B ) и ( C ) соответственно: [ \angle BDC = 90^\circ - \frac{\angle ABC}{2}, \quad \angle CBE = 90^\circ - \frac{\angle ACB}{2}. ]

7. Уравнение для угла ( BOC ):

   • Таким образом, из уравнения: [ 95^\circ + \left( 90^\circ - \frac{\angle ABC}{2} \right) + \left( 90^\circ - \frac{\angle ACB}{2} \right) = 360^\circ. ]
   • Упростив, получаем: [ 275^\circ - \frac{\angle ABC}{2} - \frac{\angle ACB}{2} = 360^\circ. ]
   • Следовательно: [ \frac{\angle ABC + \angle ACB}{2} = 85^\circ. ]
   • Отсюда: [ \angle ABC + \angle ACB = 170^\circ. ]

8. Поиск острых углов:

   • Поскольку ( \angle ACB = 90^\circ ) в прямоугольном треугольнике, то: [ \angle ABC = 90^\circ - \angle A. ]
   • Тогда, для углов: [ 90^\circ - \angle A + \angle A = 90^\circ. ]

9. Нахождение большего острого угла:

   • Поскольку ( \angle ABC ) и ( \angle ACB ) дополнительно равны ( 45^\circ ), и сумма должна быть ( 90^\circ ): [ \angle ABC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ. ]
   • Таким образом, больший острый угол в треугольнике — это ( \angle A = 45^\circ ).

В результате, в данном прямоугольном треугольнике больший острый угол равен ( 45^\circ ).