В прямоугольном треугольнике ABC угол С прямой, угол В=30 градусов, АС=5 Найти длину стороны АВ

Длина стороны AB равна 10.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C прямой, угол B равен 30 градусам, и длина катета AC равна 5, нам нужно найти длину гипотенузы AB.

В треугольнике с углом 30 градусов существует известное соотношение: катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Поскольку угол B равен 30 градусам, сторона AC является катетом, лежащим напротив угла A (60 градусов). Следовательно, гипотенуза AB будет вдвое больше катета AC.

Таким образом, чтобы найти длину гипотенузы AB, мы используем следующее соотношение:

[ AB = 2 \times AC ]

Подставляем значение AC:

[ AB = 2 \times 5 = 10 ]

Таким образом, длина гипотенузы AB равна 10.

Теперь проверим наше решение с использованием тригонометрических функций. Мы можем использовать косинус угла B:

Косинус угла в треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла B (30 градусов):

[ \cos(30^\circ) = \frac{AC}{AB} ]

Косинус 30 градусов равен (\frac{\sqrt{3}}{2}):

[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{AB} ]

Решим уравнение для AB:

[ AB = \frac{5 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} ]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{3}):

[ AB = \frac{10 \times \sqrt{3}}{3} ]

Однако, это не совпадает с нашим первым выводом. Это говорит о том, что мы должны были изначально использовать синус угла 30 градусов для вычисления гипотенузы:

[ \sin(30^\circ) = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{AB} ]

Синус 30 градусов равен (\frac{1}{2}):

[ \frac{1}{2} = \frac{5}{AB} ]

Решим уравнение для AB:

[ AB = 5 \times 2 = 10 ]

Таким образом, оба метода подтверждают, что длина гипотенузы AB равна 10.

Для нахождения длины стороны AB в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C прямой, а угол B равен 30 градусам, и АС равно 5, можно воспользоваться теоремой косинусов.

Пусть сторона AB = x.

Тогда применяя теорему косинусов к треугольнику ABC: cos(B) = AB/AC cos(30) = x/5 √3/2 = x/5 x = 5√3/2 x = 5√3/2

Таким образом, длина стороны AB равна 5√3/2.