В прямоугольном треугольнике ABC угол между биссектрисой CK и высотой CH ,проведенными из вершины прямого...

Для решения данной задачи обратимся к свойствам прямоугольного треугольника.

Пусть точка K лежит на стороне AC, а точка H - на стороне BC. Также обозначим угол CAB = α. Тогда угол ACK = α/2 (так как CK - биссектриса угла C), угол ACH = 90 - α (так как CH - высота треугольника).

Из условия задачи получаем, что угол ACH = 15 градусов, следовательно, 90 - α = 15, откуда α = 75 градусов.

Теперь можем найти сторону BC с помощью теоремы синусов в треугольнике ABC:

sin α / BC = sin 90 / AB sin 75 / BC = 1 / 12 BC = 12 / sin 75 ≈ 12 / 0.9659 ≈ 12.42

Итак, сторона BC ≈ 12.42 см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами биссектрисы, высоты и тригонометрическими соотношениями в треугольнике.

1. Построение и обозначения:

   • Треугольник (ABC) прямоугольный с прямым углом (C).
   • (CH) — высота из вершины прямого угла (C) на гипотенузу (AB).
   • (CK) — биссектриса угла (C).
   • (AB = 12) см.

2. Анализ углов:

   • Поскольку (CK) — биссектриса, она делит угол (C) пополам. Так как (C) — прямой, то ( \angle ACK = \angle BCK = 45^\circ).
   • ( \angle KCH = 15^\circ ) по условию задачи. Следовательно, ( \angle HCK = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ ).

3. Использование тригонометрических соотношений:

   • Поскольку (CH) является высотой, она делит гипотенузу (AB) на два отрезка: (AH) и (BH). По свойству высоты, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, (AH \cdot BH = CH^2).
   • Применяем теорему Пифагора для треугольников (AHC) и (BHC): [ AC^2 + CH^2 = AH^2, \quad BC^2 + CH^2 = BH^2 ]
   • Также (AC^2 = CH^2 \cot^2(30^\circ)) и (BC^2 = CH^2 \tan^2(30^\circ)). [ \cot(30^\circ) = \sqrt{3}, \quad \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} ] [ AC = CH \sqrt{3}, \quad BC = CH \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} ]

4. Нахождение (CH):

   • Из (AB = AC + BC) и подстановки значений, получаем: [ AB = CH \sqrt{3} + CH \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} ] [ 12 = CH (\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}) = CH \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} ] [ CH = \frac{12 \cdot 3}{4 \sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 9 \text{ см} ]

5. Вычисление (BC):

   • (BC = CH \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 3 \text{ см})

Итак, сторона (BC) равна 3 см.