В прямоугольном параллелепипеде основание ABCD- квадрат, точка К делит отрезок AC в отношении 1:3, считая...

Для решения задачи, связанной с построением сечений в прямоугольном параллелепипеде и нахождением площади этих сечений, необходимо воспользоваться основными свойствами геометрических фигур и теоремами о перпендикулярности и площади.

Часть 1

а) Построение сечения плоскостью, содержащей точку K и перпендикулярной плоскостям (ABC) и (AA1C).

1. Определение точки K: Поскольку K делит отрезок AC в отношении 1:3, считая от вершины A, то координаты точки K на отрезке AC можно выразить через параметрическое уравнение. Если считать, что ( A = (0, 0, 0) ) и ( C = (a, a, 0) ), то точка K будет ( K = \left(\frac{1}{4}a, \frac{1}{4}a, 0\right) ).

2. Плоскость, содержащая K и перпендикулярная (ABC): Поскольку (ABC) является плоскостью основания параллелепипеда, то нормаль к этой плоскости будет направлена вдоль оси z. Мы можем использовать любую вертикальную плоскость, проходящую через K, например, плоскость, параллельная оси y, которая будет иметь уравнение ( x = \frac{1}{4}a ).

3. Плоскость, перпендикулярная (AA1C): Для плоскости (AA1C) нормаль будет направлена вдоль вектора, содержащегося в этой плоскости, например, вектора ( \overrightarrow{AA1} = (0, 0, h) ) и ( \overrightarrow{AC} = (a, a, 0) ). Плоскость, перпендикулярная обеим нормалям, будет проходить через K и будет перпендикулярна оси x.

4. Итоговое сечение: Пересечение двух перпендикулярных плоскостей через K даст линию в плоскости (ABCD), перпендикулярную как оси x, так и y, что соответствует вертикальному сечению, проходящему через точку K.

б) Нахождение площади сечения

1. Определение размеров: Поскольку ( BC = 4 ) и ( AC1 = 4\sqrt{6} ), высота ( A1A = h = \sqrt{(4\sqrt{6})^2 - 4^2} = \sqrt{96 - 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} ).

2. Площадь сечения: Поскольку сечение — это прямоугольник, перпендикулярный основаниям, его площадь будет равна произведению высоты (AA1) и стороны основания (AB), т.е. ( S = 4 \times 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5} ).

Часть 2

а) Построение сечения плоскостью, содержащей точку M и перпендикулярной плоскостям BCD1 и DCC1.

1. Определение точки M: Точка M делит D1C в отношении 1:5, считая от D1. Если ( D1 = (0, 0, h) ) и ( C = (a, a, 0) ), то точка M будет ( M = \left(\frac{5}{6}a, \frac{5}{6}a, \frac{1}{6}h\right) ).

2. Плоскость, содержащая M и перпендикулярная (BCD1): Поскольку (BCD1) — это плоскость, параллельная оси z, нормаль будет направлена вдоль оси x или y. Выберем плоскость ( y = \frac{5}{6}a ).

3. Плоскость, перпендикулярная (DCC1): Нормаль к этой плоскости будет направлена вдоль оси z. Значит, сечение будет также вертикальной плоскостью, например, ( x = \frac{5}{6}a ).

4. Итоговое сечение: Пересечение двух плоскостей через M даст вертикальную линию через M в пространстве.

б) Нахождение площади сечения

1. Определение размеров: Поскольку ( DD1 = 6 ) и ( BD1 = \sqrt{88} ), высота ( D1D = 6 ) и ( BD = \sqrt{88 - 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} ).

2. Площадь сечения: Поскольку сечение — это прямоугольник, перпендикулярный основаниям, его площадь будет равна произведению высоты (DD1) и стороны основания (BC), т.е. ( S = 6 \times 2\sqrt{13} = 12\sqrt{13} ).

Таким образом, сечения построены и площади найдены с применением свойств прямоугольного параллелепипеда и перпендикулярных плоскостей.

а) Сначала проведем плоскость, содержащую точку К и перпендикулярную плоскостям ABC и AAC1. Затем проведем плоскость, содержащую точку М и перпендикулярную плоскостям BCD1 и DCC1.

б) Площадь полученного сечения можно найти как площадь пересечения двух прямоугольников. Для этого нужно найти длины сторон полученного прямоугольника.

а) Для построения сечения параллелепипеда плоскостью, содержащей точку К и перпендикулярной плоскостям ABC и AAC1, сначала проведем прямую, параллельную BC и проходящую через точку К. Пусть эта прямая пересечет AC в точке L. Затем проведем прямую, параллельную AD и проходящую через точку L. Пусть эта прямая пересечет BC в точке N. Таким образом, получим плоскость, содержащую точку К и параллельную плоскостям ABC и AAC1.

б) Площадь полученного сечения можно найти как площадь треугольника KLN. Для этого нужно найти длины отрезков KL, LN и KN, используя известные отношения и данные из условия задачи. После этого можно вычислить площадь треугольника, например, по формуле Герона.

а) Для построения сечения параллелепипеда плоскостью, содержащей точку М и перпендикулярной плоскостям BCD1 и DCC1, сначала проведем прямую, параллельную DC и проходящую через точку М. Пусть эта прямая пересечет D1C в точке P. Затем проведем прямую, параллельную CC1 и проходящую через точку P. Пусть эта прямая пересечет BD1 в точке Q. Таким образом, получим плоскость, содержащую точку М и параллельную плоскостям BCD1 и DCC1.

б) Площадь полученного сечения можно найти как площадь треугольника MPQ. Для этого нужно найти длины отрезков MP, PQ и MQ, используя известные отношения и данные из условия задачи. После этого можно вычислить площадь треугольника, например, по формуле Герона.