В прямоугольном параллелепипеде известны длинны ребер АВ=9 АД=12 АА1=18 найти синус между прямыми А1Д1...

Для того чтобы найти синус угла между прямыми ( A_1D_1 ) и ( AC ) в прямоугольном параллелепипеде с заданными размерами, нужно следующее:

1. Определение координат точек: Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с вершинами ( A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1 ). Пусть точка ( A ) имеет координаты ( (0, 0, 0) ). Тогда:

   • ( B(9, 0, 0) )
   • ( D(0, 12, 0) )
   • ( C(9, 12, 0) )
   • ( A_1(0, 0, 18) )
   • ( D_1(0, 12, 18) )

2. Вычисление векторов: Найдем векторы ( \overrightarrow{A_1D_1} ) и ( \overrightarrow{AC} ).

   • Вектор ( \overrightarrow{A_1D_1} = (0, 12, 18) - (0, 0, 18) = (0, 12, 0) ).
   • Вектор ( \overrightarrow{AC} = (9, 12, 0) - (0, 0, 0) = (9, 12, 0) ).

3. Скалярное произведение векторов: Скалярное произведение ( \overrightarrow{A_1D_1} \cdot \overrightarrow{AC} ) рассчитывается как: [ \overrightarrow{A_1D_1} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \cdot 9 + 12 \cdot 12 + 0 \cdot 0 = 144. ]

4. Длины векторов: Найдем длины векторов ( \overrightarrow{A_1D_1} ) и ( \overrightarrow{AC} ).

   • Длина ( \overrightarrow{A_1D_1} ) равна: [ |\overrightarrow{A_1D_1}| = \sqrt{0^2 + 12^2 + 0^2} = \sqrt{144} = 12. ]
   • Длина ( \overrightarrow{AC} ) равна: [ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{9^2 + 12^2 + 0^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15. ]

5. Вычисление косинуса угла между векторами: Косинус угла (\theta) между векторами можно найти по формуле: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{A_1D_1} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{A_1D_1}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{144}{12 \times 15} = \frac{144}{180} = \frac{4}{5}. ]

6. Вычисление синуса угла: Используя основное тригонометрическое тождество (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1), найдем синус угла: [ \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}. ]

Таким образом, синус угла между прямыми ( A_1D_1 ) и ( AC ) равен (\frac{3}{5}).

Для решения этой задачи нам необходимо найти длину ребра А1С и длину ребра А1D1 прямоугольного параллелепипеда. Зная длины ребер АВ=9, АД=12, АА1=18, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения этих длин.

Для нахождения длины ребра А1С мы можем использовать прямоугольный треугольник АА1С, где: AC = √(AA1^2 - AC^2) AC = √(18^2 - 9^2) AC = √(324 - 81) AC = √243 AC = 3√27 AC = 3√(3^3) AC = 9√3

Для нахождения длины ребра А1D1 мы можем использовать прямоугольный треугольник А1АD1, где: A1D1 = √(AD^2 - A1D^2) A1D1 = √(12^2 - 18^2) A1D1 = √(144 - 324) A1D1 = √(-180) A1D1 = 6i√5

Теперь, чтобы найти синус угла между прямыми А1D1 и АC, мы можем использовать формулу синуса угла между векторами: sinθ = |A1D1 x AC| / (|A1D1| * |AC|) где |A1D1| и |AC| - длины соответствующих векторов, а x обозначает векторное произведение.

Подставим полученные значения: sinθ = |6i√5 x 9√3| / (|6i√5| |9√3|) sinθ = |54√15| / (6√5 9√3) sinθ = 54√15 / 54√15 sinθ = 1

Таким образом, синус угла между прямыми А1D1 и AC равен 1.