В параллелограмме АВСD на сторонах AB и CD отмечены соответственно точки M и N так,что угол BMC = углу...

Для доказательства того, что AMCN является параллелограммом, нам необходимо показать, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны и равны.

Из условия задачи у нас уже есть, что угол BMC равен углу AND. Так как углы BMC и AND являются вертикальными (они равны), то мы можем сделать вывод, что угол AMB также равен углу ANC.

Теперь, рассмотрим треугольники AMB и ANC. У нас уже есть, что углы AMB и ANC равны, а также сторона AM общая для них. По теореме об угле-противолежащей стороне, мы можем сделать вывод, что сторона MB параллельна стороне NC.

Аналогично, рассмотрев треугольники NCD и MAB, мы можем показать, что сторона NC параллельна стороне AM.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны AM и NC параллельны, а углы AMB и ANC равны. Следовательно, четырехугольник AMCN является параллелограммом.

Для доказательства того, что AMCN - параллелограмм, достаточно показать, что AM || CN и AM = CN.

Угол BMC = углу AND (по условию) Угол BMC = углу AMN (по параллельности AB и CD) Угол AND = углу ACN (по параллельности AB и CD) Тогда угол AMN = углу ACN.

Так как углы AMN и ACN равны, то AM || CN. Также, по условию, углы AMB и DMC равны, поэтому BD || AC. Тогда AM = CN (по параллельности BD и AC).

Итак, мы доказали, что AMCN - параллелограмм.

Чтобы доказать, что четырехугольник AMCN является параллелограммом, воспользуемся свойствами углов и параллелограммов.

Дано:

• Четырехугольник ABCD — параллелограмм.
• На сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно так, что ∠BMC = ∠AND.

Нужно доказать, что AMCN — параллелограмм.

Доказательство:

1. Свойства параллелограмма ABCD:

   • В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, то есть AB || CD и AD || BC.
   • Противоположные углы в параллелограмме равны, то есть ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.

2. Углы в параллелограмме:

   • Рассмотрим углы ∠BMC и ∠AND. По условию, они равны: ∠BMC = ∠AND.
   • Эти углы формируются при пересечении отрезков BM и CN с диагоналями AC и BD.

3. Анализ четырехугольника AMCN:

   • Нам нужно доказать, что противоположные стороны в четырехугольнике AMCN параллельны.
   • Рассмотрим углы ∠BMC и ∠AND. Поскольку они равны и образованы при пересечении отрезков, это означает, что линии BM и CN являются трансверсалями для параллельных линий AB и CD.
   • Следовательно, отрезки AM и CN параллельны (AM || CN).

4. Аналогично:

   • Рассмотрим углы ∠BMC и ∠AND в контексте линий AD и BC, которые также параллельны.
   • Поскольку эти углы равны, то по аналогичному рассуждению линии AN и CM также параллельны (AN || CM).

5. Вывод:

   • Мы показали, что в четырехугольнике AMCN противоположные стороны параллельны: AM || CN и AN || CM.
   • Это означает, что AMCN — параллелограмм по определению.

Таким образом, используя свойства параллелограммов и равенство углов, мы доказали, что четырехугольник AMCN является параллелограммом.