В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке o ,выразите через вектора a=AB и b=AD векторы...

Для решения задачи введем обозначения для точек и рассмотрим векторы в параллелограмме ABCD. Пусть ( \vec{a} = \overrightarrow{AB} ) и ( \vec{b} = \overrightarrow{AD} ).

1. Выразим вектор ( \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} ):

   В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, ( \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \vec{a} ) и ( \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AD} = \vec{b} ). Тогда: [ \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \vec{a} + \vec{b} ]

2. Выразим вектор ( \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} ):

   Поскольку O - точка пересечения диагоналей, она делит каждую диагональ пополам. Поэтому ( \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OC} ). Вектор диагонали ( \overrightarrow{BC} ) равен сумме векторов ( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} ), то есть: [ \overrightarrow{BC} = -\vec{a} + \vec{b} ] Поскольку O - середина, то: [ \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}(-\vec{a} + \vec{b}) ] Таким образом: [ \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}(-\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{2}(-\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} + \vec{b} ]

3. Выразим вектор ( \overrightarrow{BO} - \overrightarrow{OC} ):

   Поскольку ( \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OC} ), то: [ \overrightarrow{BO} - \overrightarrow{OC} = 0 ]

4. Выразим вектор ( \overrightarrow{CO} - \overrightarrow{OA} ):

   Сначала найдем ( \overrightarrow{OA} ). Зная, что O - середина ( \overrightarrow{AC} ), имеем: [ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \vec{b} + \vec{a} ] Поскольку O - середина: [ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) ] Следовательно: [ \overrightarrow{CO} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) ] Тогда: [ \overrightarrow{CO} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) - \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = 0 ]

Таким образом, итоговые выражения для векторов следующие:

• ( \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \vec{a} + \vec{b} )
• ( \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} = -\vec{a} + \vec{b} )
• ( \overrightarrow{BO} - \overrightarrow{OC} = 0 )
• ( \overrightarrow{CO} - \overrightarrow{OA} = 0 )

Для начала, выразим векторы DC и CB через векторы a и b.

В параллелограмме ABCD вектор DC равен вектору AD, так как они параллельны и равны по модулю. Таким образом, DC = AD = b.

Аналогично, вектор CB равен вектору AB, так как они также параллельны и равны по модулю. Следовательно, CB = AB = a.

Теперь выразим векторы BO, OC и OA через векторы a и b.

Вектор BO равен полусумме векторов AB и AD (по свойству диагоналей параллелограмма): BO = 1/2 (AB + AD) = 1/2 (a + b) = 1/2 * (AB + AD).

Аналогично, вектор OC равен полусумме векторов BC и BA: OC = 1/2 (BC + BA) = 1/2 (CB + AB) = 1/2 * (CB + AB).

И, наконец, вектор OA равен разности векторов AB и AD: OA = AB - AD = a - b.

Теперь найдем векторы выражения DC + CB, BO + OC и BO - OC + CO - OA:

1. DC + CB = b + a
2. BO + OC = 1/2 (AB + AD) + 1/2 (CB + AB) = 1/2 * (2AB + 2CB) = AB + BC = a + b
3. BO - OC + CO - OA = 1/2 (AB + AD) - 1/2 (CB + AB) + 1/2 (CB + BA) - (AB - AD) = 1/2 (2AB - 2CB) + 1/2 * (2CB - 2AB) = AB - CB + CB - AB = 0

Итак, выражение DC + CB равно вектору b + a, BO + OC равно вектору a + b, а выражение BO - OC + CO - OA равно нулевому вектору.