В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Выразить через векторы a = AB и b = AD вектор...

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Для выражения вектора OD через векторы a и b, где a = AB и b = AD, рассмотрим положение точек параллелограмма.

1. Определение векторов:

   • Пусть точка A является началом координат, тогда:
     • Вектор ( B ) можно выразить как ( B = A + a ).
     • Вектор ( D ) можно выразить как ( D = A + b ).
     • Вектор ( C ) будет равен ( C = B + b = A + a + b ).

2. Координаты точек:

   • A = (0, 0)
   • B = (a, 0)
   • D = (0, b)
   • C = (a, b)

3. Векторы диагоналей:

   • Вектор диагонали AC: ( AC = C - A = (a, b) ).
   • Вектор диагонали BD: ( BD = D - B = (0, b) - (a, 0) = (-a, b) ).

4. Нахождение точки O: Точка O, где пересекаются диагонали, делит каждую из диагоналей пополам. Таким образом, можно выразить точку O как:

   • ( O = \frac{1}{2}(A + C) = \frac{1}{2}(A + (A + a + b)) = \frac{1}{2}(2A + a + b) = A + \frac{1}{2}(a + b) ).
   • Вектор ( O ) будет равен ( O = \frac{1}{2}(a + b) ).

5. Вектор OD: Чтобы найти вектор OD, нужно вычесть из координат точки D координаты точки O:

   • ( OD = D - O = (A + b) - (A + \frac{1}{2}(a + b)) = b - \frac{1}{2}(a + b) ).
   • Упростим это выражение: ( OD = b - \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b = \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}(b - a) ).

6. Итог: Мы можем записать результат вектором ( OD ): [ OD = -\frac{1}{2}(a - b) = -\frac{1}{2}(a - b). ]

Таким образом, правильный ответ: б) ( OD = -\frac{1}{2}(a - b) ).

Для решения задачи о нахождении вектора ( \mathbf{OD} ) через векторы ( \mathbf{a} = \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{b} = \mathbf{AD} ), воспользуемся свойствами параллелограмма и векторной алгеброй.

Шаг 1. Свойства диагоналей параллелограмма

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке ( O ), которая делит их пополам. Это ключевое свойство. Значит, точка ( O ) — это середина каждого из отрезков ( AC ) и ( BD ).

Шаг 2. Выражение точки ( D ) и других точек через ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} )

1. Вектор ( \mathbf{AB} = \mathbf{a} ), что означает ( \mathbf{B} = \mathbf{A} + \mathbf{a} ).
2. Вектор ( \mathbf{AD} = \mathbf{b} ), что означает ( \mathbf{D} = \mathbf{A} + \mathbf{b} ).

Также, для диагонали ( AC ), вектор ( \mathbf{C} ) можно выразить как: [ \mathbf{C} = \mathbf{B} + \mathbf{b} = (\mathbf{A} + \mathbf{a}) + \mathbf{b} = \mathbf{A} + \mathbf{a} + \mathbf{b}. ]

Шаг 3. Выражение вектора ( \mathbf{OD} )

Для нахождения ( \mathbf{OD} ), важно выразить ( O ), точку пересечения диагоналей. Мы знаем, что точка ( O ) делит диагональ ( BD ) пополам. Значит, она лежит на середине отрезка между точками ( B ) и ( D ).

1. Вектор ( \mathbf{BD} ) можно записать как: [ \mathbf{BD} = \mathbf{D} - \mathbf{B} = (\mathbf{A} + \mathbf{b}) - (\mathbf{A} + \mathbf{a}) = \mathbf{b} - \mathbf{a}. ]

2. Точка ( O ) делит ( \mathbf{BD} ) пополам, поэтому вектор ( \mathbf{BO} ) равен половине ( \mathbf{BD} ): [ \mathbf{BO} = \frac{1}{2} (\mathbf{b} - \mathbf{a}). ]

3. Тогда ( \mathbf{O} ) можно выразить как: [ \mathbf{O} = \mathbf{B} + \mathbf{BO} = (\mathbf{A} + \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{b} - \mathbf{a}). ]

Упростим: [ \mathbf{O} = \mathbf{A} + \mathbf{a} + \frac{1}{2} \mathbf{b} - \frac{1}{2} \mathbf{a} = \mathbf{A} + \frac{1}{2} \mathbf{a} + \frac{1}{2} \mathbf{b}. ]

1. Теперь вычислим ( \mathbf{OD} ). Вектор ( \mathbf{OD} ) — это разность между ( \mathbf{D} ) и ( \mathbf{O} ): [ \mathbf{OD} = \mathbf{D} - \mathbf{O}. ]

Подставляем выражения для ( \mathbf{D} ) и ( \mathbf{O} ): [ \mathbf{OD} = (\mathbf{A} + \mathbf{b}) - \left(\mathbf{A} + \frac{1}{2} \mathbf{a} + \frac{1}{2} \mathbf{b}\right). ]

Упрощаем: [ \mathbf{OD} = \mathbf{A} + \mathbf{b} - \mathbf{A} - \frac{1}{2} \mathbf{a} - \frac{1}{2} \mathbf{b}. ]

[ \mathbf{OD} = \mathbf{b} - \frac{1}{2} \mathbf{a} - \frac{1}{2} \mathbf{b}. ]

[ \mathbf{OD} = \frac{1}{2} \mathbf{b} - \frac{1}{2} \mathbf{a}. ]

[ \mathbf{OD} = \frac{1}{2} (\mathbf{b} - \mathbf{a}). ]

Шаг 4. Ответ

Полученный результат показывает, что: [ \mathbf{OD} = -\frac{1}{2} (\mathbf{a} - \mathbf{b}). ]

Таким образом, правильный ответ: [ \mathbf{OD} = -\frac{1}{2} (\mathbf{a} - \mathbf{b}), ] или в вариантах ответа: б) ( \mathbf{OD} = -\frac{1}{2} (\mathbf{a} - \mathbf{b}) ).