В параллелограмме ABCD биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M1. На прямых AB и CD взяты...

Для решения данной задачи обратимся к свойствам параллелограмма.

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то угол ABC равен углу CDA. Поскольку биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M1, то угол AM1C равен углу DCM1. Также, угол KBC равен углу BCP, так как они являются углами параллельных прямых.

Из этого следует, что треугольники AM1C и DCM1 подобны, а также треугольники KBC и BCP подобны.

Теперь рассмотрим треугольник AM1M2. Из подобия треугольников AM1C и DCM1 следует, что отношение сторон AM1 и DM1 равно отношению сторон AM1 и M1M2. Аналогично, из подобия треугольников KBC и BCP следует, что отношение сторон KB и BP равно отношению сторон KB и BM2.

Таким образом, получаем, что M1M2 = AM1 BP / KB DM1.

Ответ: M1M2 = 1/2 * $BC+AD$

Давайте рассмотрим параллелограмм $ABCD$ и разберем ситуацию с биссектрисами углов и их пересечением.

1. Рассмотрим биссектрисы углов $\mathrm{\angle }ABC$ и $\mathrm{\angle }BCD$ и их пересечение:

   • Пусть $M_1$ — точка пересечения биссектрис углов $\mathrm{\angle }ABC$ и $\mathrm{\angle }BCD$.
   • В параллелограмме $ABCD$ углы $\mathrm{\angle }ABC$ и $\mathrm{\angle }BCD$ — смежные углы, их сумма равна ${180}^{\circ }$.
   • Биссектрисы этих углов делят их пополам, поэтому углы, образуемые при пересечении этих биссектрис, будут равны ${90}^{\circ }$.

2. Перейдем к точкам $K$ и $P$ и биссектрисам углов $\mathrm{\angle }KBC$ и $\mathrm{\angle }BCP$:

   • Пусть $K$ — точка на прямой $AB$ такая, что $A-B-K$.
   • Пусть $P$ — точка на прямой $CD$ такая, что $D-C-P$.
   • Рассмотрим углы $\mathrm{\angle }KBC$ и $\mathrm{\angle }BCP$. Эти углы также смежные, и их сумма равна ${180}^{\circ }$.
   • Пусть $M_2$ — точка пересечения биссектрис углов $\mathrm{\angle }KBC$ и $\mathrm{\angle }BCP$.

3. Теперь найдем расстояние $M_1{M}_2$:

   • В параллелограмме $ABCD$ точки $K$ и $P$ лежат на продолжениях сторон $AB$ и $CD$ соответственно.
   • Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, стороны $AB$ и $CD$ параллельны.
   • Биссектрисы углов $\mathrm{\angle }ABC$ и $\mathrm{\angle }KBC$ будут параллельны, так как $K$ лежит на продолжении $AB$.
   • Аналогично, биссектрисы углов $\mathrm{\angle }BCD$ и $\mathrm{\angle }BCP$ будут параллельны, так как $P$ лежит на продолжении $CD$.

4. Положение точек $M_1$ и $M_2$:

   • Точки $M_1$ и $M_2$ лежат на пересечении параллельных биссектрис смежных углов.
   • Поскольку биссектрисы смежных углов в параллелограмме пересекаются под углом ${90}^{\circ }$, то точки $M_1$ и $M_2$ будут лежать на биссектрисах, которые также параллельны друг другу.

5. Расстояние между точками $M_1$ и $M_2$:

   • Поскольку $M_1$ и $M_2$ лежат на параллельных прямых, которые являются биссектрисами углов, их расстояние будет равно расстоянию между этими параллельными прямыми.
   • В данном случае, биссектрисы углов $\mathrm{\angle }ABC$ и $\mathrm{\angle }KBC$ и углов $\mathrm{\angle }BCD$ и $\mathrm{\angle }BCP$ совпадают по направлению и параллельны, следовательно, расстояние между $M_1$ и $M_2$ равно нулю.

Итак, $M_1{M}_2=0$.