В параллелограме ABCD высота опущенная на сторону CD делит ее пополам и образует со стороной BC угол 30 градусов AB=12см.Найдите периметр параллелограмма
В параллелограме ABCD высота опущенная на сторону CD делит ее пополам и образует со стороной BC угол 30 градусов AB=12см.Найдите периметр параллелограмма
Пусть высота параллелограмма равна h. Так как высота делит сторону CD пополам, то CD = 2h. Также, так как угол между высотой и стороной BC равен 30 градусов, то можем построить прямоугольный треугольник с катетами h и CD/2 = h, гипотенуза которого равна AB = 12. Используя тригонометрические соотношения, найдем значение h = 6√3. Теперь можем найти стороны параллелограмма: BC = 2h = 12√3, AD = BC = 12√3, AB = CD = 12. Периметр параллелограмма равен 2(AB + BC) = 2(12 + 12√3) = 24 + 24√3.
Давайте рассмотрим параллелограмм (ABCD), в котором высота, опущенная на сторону (CD), делит её пополам и образует угол 30 градусов со стороной (BC). Нам также известно, что (AB = 12) см.
Для удобства обозначим:
Высота делит сторону (CD) на две равные части, каждая из которых равна (a/2). Также, данная высота образует угол в 30 градусов с (BC). Это позволяет нам использовать тригонометрические функции для нахождения высоты (h).
Высота (h) равна: [ h = b \sin(30^\circ) ] Поскольку (\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}), получаем: [ h = \frac{b}{2} ]
Теперь рассмотрим треугольник, который образуется высотой, половиной стороны (CD) и стороной (BC). В этом треугольнике:
Используем теорему Пифагора для нахождения (b): [ b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 ] [ b^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} ]
Умножим обе стороны уравнения на 4: [ 4b^2 = a^2 + b^2 ] [ 3b^2 = a^2 ] [ b^2 = \frac{a^2}{3} ] [ b = \frac{a}{\sqrt{3}} ]
Теперь вернемся к высоте (h): [ h = \frac{b}{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}} ]
В параллелограмме (ABCD) стороны (AB) и (CD) равны, а также (BC) и (AD) равны. Значит, для нахождения периметра параллелограмма нам нужно найти суммы длин всех сторон: [ P = 2(AB + BC) ]
Так как (AB = 12) см, и (BC = b = \frac{a}{\sqrt{3}}), нужно выразить (a) через известные данные. Нам нужно найти (BC) или (a).
Используя треугольник (ABH), где (H) — это точка основания высоты на стороне (CD): [ \cos(30^\circ) = \frac{AH}{AB} = \frac{a}{2} \div 12 ] [ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{24} ] [ a = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} ]
Таким образом: [ b = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12 ]
Теперь мы можем найти периметр: [ P = 2(AB + BC) = 2(12 + 12) = 2 \cdot 24 = 48 \text{ см} ]
Итак, периметр параллелограмма (ABCD) равен 48 см.
Для решения данной задачи воспользуемся свойствами параллелограмма. Так как высота, опущенная на сторону CD, делит ее пополам, то сторона CD также равна 12 см.
Так как высота делит сторону CD пополам, то треугольник ACD является прямоугольным с прямым углом при вершине C. Поскольку угол BCD равен 30 градусам, то угол ACD также равен 30 градусам (так как сумма углов треугольника равна 180 градусам).
Теперь мы можем найти сторону AD, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ACD: AD = CD sin(30°) = 12 sin(30°) = 12 * 0.5 = 6 см.
Таким образом, мы получили, что сторона AD равна 6 см. Поскольку AB и CD также равны 12 см, то периметр параллелограмма ABCD равен: P = 2(AB + AD) = 2(12 + 6) = 2(18) = 36 см.
Ответ: периметр параллелограмма ABCD равен 36 см.
