В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 найти сумму векторов: 1) В1С+АВ+ВВ1+В1А 2) DC-BB1

Для решения задачи рассмотрим каждый из векторов и их комбинации в указанном параллелепипеде.

1) Векторная сумма: ( \mathbf{B_1C} + \mathbf{AB} + \mathbf{BB_1} + \mathbf{B_1A} )

Рассмотрим каждый из векторов:

• ( \mathbf{B_1C} ): Это вектор от точки ( B_1 ) к точке ( C ).
• ( \mathbf{AB} ): Это вектор от точки ( A ) к точке ( B ).
• ( \mathbf{BB_1} ): Это вектор от точки ( B ) к точке ( B_1 ).
• ( \mathbf{B_1A} ): Это вектор от точки ( B_1 ) к точке ( A ).

Теперь сложим эти векторы: [ \mathbf{B_1C} + \mathbf{AB} + \mathbf{BB_1} + \mathbf{B_1A} = (\mathbf{B_1A} + \mathbf{AB} + \mathbf{BB_1} + \mathbf{B_1C}) ]

Векторное сложение выполняется по правилу треугольника или многоугольника. Заметим, что после упрощения: [ \mathbf{B_1A} + \mathbf{AB} + \mathbf{BB_1} + \mathbf{B_1C} = \mathbf{B_1B_1} = \mathbf{0} ]

Здесь вектор от любой точки к самой себе равен нулевому вектору ((\mathbf{0})).

2) Векторная разность: ( \mathbf{DC} - \mathbf{BB_1} )

Рассмотрим каждый из векторов:

• ( \mathbf{DC} ): Это вектор от точки ( D ) к точке ( C ).
• ( \mathbf{BB_1} ): Это вектор от точки ( B ) к точке ( B_1 ).

Векторная разность равна: [ \mathbf{DC} - \mathbf{BB_1} = \mathbf{DC} + (-\mathbf{BB_1}) ]

Вектор ( -\mathbf{BB_1} ) является вектором от ( B_1 ) к ( B ). Чтобы понять, чему равна векторная сумма ( \mathbf{DC} + \mathbf{B_1B} ), представим, что мы перемещаемся по параллелепипеду:

• ( \mathbf{DC} ) перемещает нас по одной грани параллелепипеда.
• (-\mathbf{BB_1}) направлен в противоположную сторону по вертикали.

Так как ( \mathbf{DC} ) и ( -\mathbf{BB_1} ) лежат в разных направлениях и векторы параллелепипеда ортогональны или параллельны, их сумма не равна нулю. Однако без дополнительных данных о размере векторов невозможно дать численное значение. Мы можем лишь утверждать, что итоговый вектор будет направлен в пространстве, определяемом разностью этих двух векторов.

1) Сначала найдем координаты данных векторов:

• В1С = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)
• АВ = (x - x1, y - y1, z - z1)
• ВВ1 = (x1 - x3, y1 - y3, z1 - z3)
• В1А = (x - x2, y - y2, z - z2)

Теперь сложим данные векторы: В1С+АВ+ВВ1+В1А = ((x1 - x2) + (x - x1) + (x1 - x3) + (x - x2), (y1 - y2) + (y - y1) + (y1 - y3) + (y - y2), (z1 - z2) + (z - z1) + (z1 - z3) + (z - z2)) = (2x - x3, 2y - y3, 2z - z3)

2) Теперь найдем координаты вектора DC и вектора BB1:

• DC = (x4 - x3, y4 - y3, z4 - z3)
• BB1 = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)

Теперь вычтем вектор BB1 из вектора DC: DC-BB1 = ((x4 - x3) - (x1 - x2), (y4 - y3) - (y1 - y2), (z4 - z3) - (z1 - z2)) = (x4 - x3 - x1 + x2, y4 - y3 - y1 + y2, z4 - z3 - z1 + z2)