В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 точка М лежит на отрезке АС, причем АМ:МС = 4:1. Разложите вектор D1M...

Для разложения вектора D1M по векторам a, c и m найдем координаты векторов D1M, D1A1, D1C1 и D1D.

Пусть D1M = xa + yc + z*m, где x, y, z - коэффициенты, которые нужно найти.

Так как точка M лежит на отрезке AC и AM:MS = 4:1, то можно записать, что вектор AM = 4/5 AC, а вектор MS = 1/5 AC.

Таким образом, D1M = 4/5 D1A1 + 1/5 D1C1 + z * D1D.

Найдем координаты векторов D1A1, D1C1 и D1D. Пусть координаты точек A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 равны (x, y, z). Тогда

D1A1 = (x, y, z) - (x, y, 0) = (0, 0, z), D1C1 = (x, y, z) - (x, 0, z) = (0, y, 0), D1D = (x, y, z) - (0, y, z) = (x, 0, 0).

Подставляя найденные координаты в выражение для D1M, получаем:

D1M = 4/5 (0, 0, z) + 1/5 (0, y, 0) + z * (x, 0, 0) = (0, y/5, 4z/5) + (0, y/5, 0) + (zx, 0, 0) = (zx, 2y/5, 4z/5).

Таким образом, вектор D1M = zxa + 2y/5c + 4z/5*m.

Чтобы разложить вектор ( \mathbf{D_1M} ) по векторам ( \mathbf{a} = \mathbf{D_1A_1} ), ( \mathbf{c} = \mathbf{D_1C_1} ) и ( \mathbf{m} = \mathbf{D_1D} ), сначала выразим вектор ( \mathbf{D_1M} ) через базисные векторы параллелепипеда.

Шаг 1: Выразим вектор (\mathbf{D_1M})

Пусть координаты точек параллелепипеда таковы:

• ( \mathbf{D_1} ) — начало координат ((0, 0, 0)),
• ( \mathbf{A_1} ) — ((a, 0, 0)),
• ( \mathbf{C_1} ) — ((0, b, 0)),
• ( \mathbf{D} ) — ((0, 0, c)).

Теперь найдём координаты точки ( M ), которая делит отрезок ( AC ) в отношении 4:1.

Точки ( A ) и ( C ) имеют координаты:

• ( \mathbf{A} ) — ((a, 0, c)),
• ( \mathbf{C} ) — ((0, b, c)).

Точка ( M ) делит отрезок ( AC ) в отношении 4:1, поэтому её координаты можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении: [ M = \left( \frac{4 \cdot 0 + 1 \cdot a}{4 + 1}, \frac{4 \cdot b + 1 \cdot 0}{4 + 1}, \frac{4 \cdot c + 1 \cdot c}{4 + 1} \right) = \left( \frac{a}{5}, \frac{4b}{5}, c \right). ]

Теперь координаты вектора ( \mathbf{D_1M} ): [ \mathbf{D_1M} = M - D_1 = \left( \frac{a}{5}, \frac{4b}{5}, c \right) - (0, 0, 0) = \left( \frac{a}{5}, \frac{4b}{5}, c \right). ]

Шаг 2: Разложим вектор (\mathbf{D_1M}) по векторам (\mathbf{a}), (\mathbf{c}) и (\mathbf{m})

Векторы (\mathbf{a}), (\mathbf{c}) и (\mathbf{m}) выражаются как:

• (\mathbf{a} = (a, 0, 0)),
• (\mathbf{c} = (0, b, 0)),
• (\mathbf{m} = (0, 0, c)).

Ищем такие коэффициенты (\alpha), (\beta), (\gamma), чтобы: [ \mathbf{D_1M} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{c} + \gamma \mathbf{m}. ]

Подставим координаты: [ \left( \frac{a}{5}, \frac{4b}{5}, c \right) = \alpha (a, 0, 0) + \beta (0, b, 0) + \gamma (0, 0, c). ]

Это приводит к системе уравнений:

1. (\alpha a = \frac{a}{5}),
2. (\beta b = \frac{4b}{5}),
3. (\gamma c = c).

Решаем систему:

1. (\alpha = \frac{1}{5}),
2. (\beta = \frac{4}{5}),
3. (\gamma = 1).

Ответ

Таким образом, вектор ( \mathbf{D_1M} ) можно разложить по векторам (\mathbf{a}), (\mathbf{c}) и (\mathbf{m}) следующим образом: [ \mathbf{D_1M} = \frac{1}{5} \mathbf{a} + \frac{4}{5} \mathbf{c} + 1 \cdot \mathbf{m}. ]

Вектор D1M = 4/5 D1A1 + 1/5 D1C1 + 0 * D1D.