в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М середина ребра C1D1, а точка К делит ребро AA1, в отношении AK : KA1 = 1 : 3
Через точки К и М проведена плоскость a, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A1C в точке О.
а). докажите, что плоскость а делит диагональ A`1C в отношении A1О : ОС = 3 : 5
б). найдите угол между плоскость а и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 - куб.
а) Для начала найдем координаты точек K и M в системе координат, связанной с параллелепипедом ABCDA1B1C1D1. Пусть начало координат находится в точке A, ось x направлена от A к B, ось y от A к D, а ось z от A к A1. Пусть длина ребра куба равна 1.
Точка K делит ребро AA1 в отношении 1:3, значит, координаты точки K будут (0, 0, 1/4).
Точка M — середина ребра C1D1, следовательно, координаты точки M будут (1, 1/2, 1).
Рассмотрим плоскость, проходящую через точки K и M и параллельную прямой BD. Вектор BD имеет координаты (1, 1, 0) - от B (1, 0, 0) к D (0, 1, 0). Найдем уравнение плоскости через точки K и M, параллельное направляющему вектору BD.
Вектор KM = (1 - 0, 1/2 - 0, 1 - 1/4) = (1, 1/2, 3/4). Вектор KM и BD должны быть коллинеарны с нормальным вектором плоскости. Пусть n = (a, b, c) — нормальный вектор искомой плоскости. Тогда:
a(1) + b(1) + c(0) = 0, a(1) + b(1/2) + c(3/4) = 0.
Отсюда, a + b = 0 и a + b/2 + 3c/4 = 0. Решая, получим a = -b, подставляя во второе уравнение, найдем c = 0. Таким образом, направляющий вектор плоскости параллелен оси z.
Так как плоскость проходит через K и M и параллельна BD, ее можно описать уравнением вида x + ky = d, где k и d подбираются так, чтобы удовлетворять координатам K и M. Подстановка дает систему уравнений:
0 + 0k = d, 1 + (1/2)k = d.
Отсюда k = -2, d = 1. Уравнение плоскости: x - 2y = 1.
Диагональ A1C имеет направление от A1 (0, 0, 1) до C (1, 1, 0), т.е. вектор (1, 1, -1). Плоскость и диагональ пересекутся в точке, удовлетворяющей уравнению плоскости и параметрическим уравнениям диагонали. Подставив параметрические уравнения в уравнение плоскости, найдем точку пересечения и, соответственно, отношение A1O:OC.
б) Угол между плоскостями (ABC) и a найдем как угол между нормалями к этим плоскостям. Плоскость (ABC) имеет нормальный вектор (0, 0, 1), а плоскость a имеет нормальный вектор (1, -2, 0). Угол между векторами вычисляется по формуле:
cos(theta) = |A•B| / (|A| |B|), где A и B — нормальные вектора плоскостей.
Подставляя и вычисляя, найдем искомый угол.
а) Для начала заметим, что точка О является серединой отрезка A1C (так как плоскость а параллельна прямой BD и проходит через точку М, которая является серединой ребра C1D1). Таким образом, отношение A1О : ОС равно 1 : 1. Теперь выразим отношение A1О : ОС через отношение AK : KA1. Заметим, что треугольник AKA1 подобен треугольнику A1OC (по трём углам). Поэтому отношение сторон этих треугольников равно отношению сторон AK : KA1 = 1 : 3. Следовательно, A1О : ОС = 3 : 5.
б) Угол между плоскостью а и плоскостью (ABC) равен углу между их нормалями. Нормаль к плоскости а параллельна вектору BD, а нормаль к плоскости (ABC) параллельна вектору AB. Так как ABCDA1B1C1D1 - куб, то векторы BD и AB перпендикулярны и угол между плоскостью а и плоскостью (ABC) равен 90 градусов.
