В основании тетраэдра MPHК лежит треугольник МРН с углом Н, равным 90 градусов. Прямая НК перпендикулярна...

Для нахождения расстояния от точки К до прямой МР воспользуемся теоремой Пифагора. Обозначим расстояние от точки К до прямой МР как d. Так как треугольник МРН является прямоугольным, то по теореме Пифагора:

MK^2 + d^2 = 9^2

MK^2 = 81 - d^2

Также, так как угол МРН равен 30 градусов, то треугольник МРН является равнобедренным, следовательно, MR = RN.

Теперь найдем расстояние от точки М до плоскости РНК. Обозначим это расстояние как h. Так как угол МРН равен 30 градусов, то угол РНК также равен 30 градусов. Таким образом, треугольник РНК является равносторонним, и у него все стороны равны.

Так как угол РНК прямой, то треугольник МРН подобен треугольнику РНК (по углу-прямому и углу-углу). Таким образом, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению расстояния до прямой и расстояния до плоскости:

MK/MR = d/h

MR = RN = 24 см

24/(d+h) = d/h

24h = 24d + d^2

h = (24d + d^2)/24

Теперь подставим значение MK^2 из первого уравнения во второе:

24h = 24(9^2 - d^2) + d^2

24h = 24*81 - 24d^2 + d^2

24h = 1944 - 23d^2

h = (1944 - 23d^2)/24

Итак, мы нашли расстояние от точки К до прямой МР (d) и расстояние от точки М до плоскости РНК (h) в общем виде, используя данную информацию о тетраэдре MPHК.

Для начала, давайте визуализируем и разберем геометрическую конфигурацию тетраэдра MPHК. В его основании лежит прямоугольный треугольник MРН, где угол при вершине Н равен 90 градусов. Прямая НК перпендикулярна плоскости треугольника МРН, что означает, что КН — высота тетраэдра, опущенная из вершины К на плоскость основания.

Найдем расстояние от точки K до прямой МР

1. Определим координаты ключевых точек:

   • Пусть точка Н находится в начале координат: Н(0, 0, 0).
   • Поскольку НР = 24 см, а угол МРН = 30 градусов, то:
     • ( \text{Р} (24, 0, 0) )
     • МРН — прямоугольный треугольник, где угол МРН = 30 градусов. В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов составляет половину гипотенузы. Следовательно:
       • ( МР = 24 \cos(30^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} )
       • Катет МН равен:
         • ( МН = МР \sin(30^\circ) = 12\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 6\sqrt{3} )
     • Тогда координаты точки M:
       • ( \text{М} (0, 6\sqrt{3}, 0) )
   • Координаты точки К:
     • ( \text{К} (0, 0, 9) )

2. Расстояние от точки K до прямой МР:

   • Прямая МР можно описать параметрически:
     • ( \text{М} (0, 6\sqrt{3}, 0) )
     • ( \text{Р} (24, 0, 0) )
   • Направляющий вектор ( \vec{d} = \text{Р} - \text{М} = (24, -6\sqrt{3}, 0) )
   • Вектор ( \vec{v} = \text{К} - \text{М} = (0, -6\sqrt{3}, 9) )
   • Расстояние от точки до прямой в пространстве:
     • ( d = \frac{|\vec{v} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} )
   • Найдем векторное произведение:
     • ( \vec{v} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 0 & -6\sqrt{3} & 9 \ 24 & -6\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = (54\sqrt{3}, 216, 144\sqrt{3}) )
     • Его длина:
       • ( |\vec{v} \times \vec{d}| = \sqrt{(54\sqrt{3})^2 + 216^2 + (144\sqrt{3})^2} = \sqrt{8748 + 46656 + 62208} = \sqrt{117612} = 342 )
     • Длина направляющего вектора:
       • ( |\vec{d}| = \sqrt{24^2 + (-6\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{576 + 108} = 12\sqrt{7} )
   • Расстояние:
     • ( d = \frac{342}{12\sqrt{7}} = \frac{171}{6\sqrt{7}} = \frac{171}{6\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{171\sqrt{7}}{42} = \frac{57\sqrt{7}}{14} = \frac{19\sqrt{7}}{7} )

Найдем расстояние от точки М до плоскости РНК

1. Уравнение плоскости РНК:

   • Направляющие векторы:
     • ( \vec{a} = \text{Р} - \text{Н} = (24, 0, 0) )
     • ( \vec{b} = \text{К} - \text{Н} = (0, 0, 9) )
   • Векторное произведение:
     • ( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 24 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 9 \end{vmatrix} = (0, 216, 0) )
   • Уравнение плоскости:
     • ( 0x + 216y + 0z = 0 )
     • ( y = 0 )

2. Расстояние от точки М до плоскости РНК:

   • Точка М(0, 6√3, 0)
   • Уравнение плоскости: ( y = 0 )
   • Расстояние:
     • ( d = |6\sqrt{3} - 0| = 6\sqrt{3} )

Итак, ответы:

• Расстояние от точки K до прямой МР: ( \frac{19\sqrt{7}}{7} ) см.
• Расстояние от точки М до плоскости РНК: ( 6\sqrt{3} ) см.