В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ACB, угол C=90 градусов, AC=4 см,...

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов, включая нахождение высоты призмы, построение чертежа, определение площади боковой поверхности и вычисление объема. Давайте разберем каждый шаг подробно.

Шаг 1: Построение чертежа

1. Начнем с построения основания призмы, которым является прямоугольный треугольник ACB с прямым углом в вершине C.
   • AC = 4 см
   • BC = 3 см
2. Соедините точки A и B, длина AB будет равна гипотенузе треугольника ACB. Используем теорему Пифагора: [ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} ]
3. Постройте призму, подняв точки A, B и C на высоту ( h ) и обозначив верхние вершины как ( A_1, B_1 ) и ( C_1 ).

Шаг 2: Определение высоты призмы

Плоскость проходит через сторону AC и вершину B1. Угол B1AC = 60 градусов.

1. Рассмотрим треугольник ( ACB_1 ). Вершина B1 находится на высоте призмы, обозначим её ( h ).
2. В треугольнике ( ACB_1 ) угол ( \angle B_1AC = 60^\circ ). AC является общей стороной, и мы знаем длину AC (4 см).
3. Используем тангенс угла: [ \tan 60^\circ = \frac{B_1C}{AC} ] [ \sqrt{3} = \frac{h}{4} ] [ h = 4\sqrt{3} \text{ см} ]

Шаг 3: Площадь боковой поверхности

Боковая поверхность прямой призмы состоит из трёх прямоугольников.

1. Площадь боковых граней: [ S{\text{бок}} = (AB \cdot h) + (BC \cdot h) + (AC \cdot h) ] [ S{\text{бок}} = (5 \cdot 4\sqrt{3}) + (3 \cdot 4\sqrt{3}) + (4 \cdot 4\sqrt{3}) ] [ S{\text{бок}} = 20\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + 16\sqrt{3} ] [ S{\text{бок}} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Шаг 4: Объем призмы

Объем призмы рассчитывается по формуле: [ V = S{\text{основания}} \cdot h ] Площадь основания треугольника ACB: [ S{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 \text{ см}^2 ] Объем призмы: [ V = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ см}^3 ]

Итоговые результаты

• Площадь боковой поверхности: ( 48\sqrt{3} \text{ см}^2 )
• Объем призмы: ( 24\sqrt{3} \text{ см}^3 )

Чертеж

Для построения чертежа вам нужно начертить треугольник ACB с углом C = 90 градусов, длины сторон которого равны AC = 4 см и BC = 3 см. Затем из точек A, B и C поднимите вертикально вверх отрезки длиной ( 4\sqrt{3} ) см и соедините их вершины, чтобы получить верхнее основание призмы. Плоскость, проходящая через AC и B1, образует угол 60 градусов с AC.

Для нахождения площади боковой поверхности и объема прямоугольной призмы нужно использовать следующие формулы:

1. Площадь боковой поверхности: Sб = p * h, где p - периметр основания, h - высота призмы.

2. Объем: V = Sосн * h, где Sосн - площадь основания призмы, h - высота призмы.

Для решения задачи необходимо найти высоту призмы и площадь основания, а затем подставить значения в формулы. Также нужно построить чертеж для наглядности.

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту прямоугольного треугольника ACB, а затем посчитать площадь боковой поверхности и объем призмы.

1. Найдем высоту прямоугольного треугольника ACB. Так как у нас есть прямоугольный треугольник, то мы можем использовать теорему Пифагора: AB^2 = AC^2 + BC^2 AB^2 = 4^2 + 3^2 AB^2 = 16 + 9 AB^2 = 25 AB = 5 см

2. Найдем высоту треугольника AB1C1. Так как угол B1AC = 60 градусов, то треугольник AB1C1 является прямоугольным с гипотенузой AB1. Так как мы уже нашли длину стороны AB, то высота будет равна AB sin(60°): h = 5 sin(60°) h = 5 * √3 / 2 h = 5√3 / 2 h = 5√3 / 2 см

3. Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы. Площадь боковой поверхности прямоугольной призмы равна периметру основания, умноженному на высоту: Sб = (AC + BC + AB1 + AC1) h Sб = (4 + 3 + 5 + 5√3 / 2) 5√3 / 2 Sб = (12 + 5√3) * 5√3 / 2 Sб = (60√3 + 25√3) / 2 Sб = 85√3 / 2 см^2

4. Найдем объем призмы. Объем прямоугольной призмы равен площади основания, умноженной на высоту: V = Sос h V = AC BC h V = 4 3 5√3 / 2 V = 6 5√3 V = 30√3 см^3

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна 85√3 / 2 см^2, а объем призмы равен 30√3 см^3.