В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 7см 8см 9см. найдите площадь полной поверхности...

Для решения задачи найдем площадь полной поверхности пирамиды. Полная поверхность пирамиды состоит из площади основания и площади всех боковых граней. Шаг за шагом разберем задачу:

1. Площадь основания

Основание пирамиды — треугольник со сторонами (a = 7) см, (b = 8) см, (c = 9) см. Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона:

[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, ] где (p) — полупериметр треугольника: [ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+9}{2} = 12. ]

Теперь подставим значения в формулу Герона: [ S = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}. ]

Посчитаем под корнем: [ S = \sqrt{12 \cdot 60} = \sqrt{720}. ]

Разложим (720) на множители: [ 720 = 36 \cdot 20 = 6^2 \cdot 2 \cdot 10. ]

Тогда: [ S = \sqrt{36 \cdot 20} = 6 \cdot \sqrt{20} = 6 \cdot 2\sqrt{5} = 12\sqrt{5} \, \text{см}^2. ]

Площадь основания треугольника равна (12\sqrt{5}) см².

2. Определение боковых граней

Боковые грани пирамиды представляют собой треугольники, которые имеют одну сторону, равную стороне основания ((a = 7), (b = 8), (c = 9)), и высоты, опущенные из вершины пирамиды на эти стороны.

Для нахождения площадей боковых граней нам нужно знать высоты этих треугольников, зависящие от углов при основании (двугранных углов) и высоты пирамиды.

2.1. Высота пирамиды

Высота пирамиды (h = 2) см. Пусть (O) — ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания. Поскольку двугранные углы при основании равны, вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности треугольника-основания.

2.2. Радиус вписанной окружности

Для нахождения радиуса вписанной окружности (r) воспользуемся формулой: [ r = \frac{S}{p}, ] где (S = 12\sqrt{5}) — площадь основания, (p = 12) — полупериметр.

[ r = \frac{12\sqrt{5}}{12} = \sqrt{5} \, \text{см}. ]

Таким образом, проекция вершины пирамиды (O) находится на расстоянии (r = \sqrt{5}) см от сторон треугольника.

2.3. Высоты боковых граней

Каждая боковая грань — треугольник. Высота каждой грани определяется как гипотенуза треугольника с катетами:

• (h = 2) (высота пирамиды),
• (r = \sqrt{5}) (радиус вписанной окружности).

Найдем длину наклонной высоты (апофемы) (l): [ l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 \, \text{см}. ]

Теперь можно вычислить площадь каждой боковой грани.

3. Площади боковых граней

Площадь боковой грани равна: [ S_{\text{грань}} = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона основания} \cdot \text{апофема}. ]

• Для стороны (a = 7): [ S_1 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 = 10.5 \, \text{см}^2. ]

• Для стороны (b = 8): [ S_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12 \, \text{см}^2. ]

• Для стороны (c = 9): [ S_3 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 = 13.5 \, \text{см}^2. ]

4. Полная площадь поверхности

Полная площадь поверхности пирамиды равна сумме площади основания и всех боковых граней: [ S{\text{полная}} = S{\text{основание}} + S_1 + S_2 + S_3. ]

Подставим значения: [ S_{\text{полная}} = 12\sqrt{5} + 10.5 + 12 + 13.5. ]

Приблизительно, используя (\sqrt{5} \approx 2.236): [ S_{\text{полная}} \approx 12 \cdot 2.236 + 10.5 + 12 + 13.5 = 26.832 + 10.5 + 12 + 13.5 = 62.832 \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь полной поверхности пирамиды составляет приблизительно (62.83 \, \text{см}^2). Точное значение: [ S_{\text{полная}} = 12\sqrt{5} + 36 \, \text{см}^2. ]

Для нахождения площади полной поверхности пирамиды, основание которой является треугольником со сторонами 7 см, 8 см и 9 см, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Вычисление площади основания

Сначала найдем площадь треугольника с использованием формулы Герона. Для этого нужно сначала вычислить полупериметр треугольника:

[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12 \text{ см} ]

Теперь подставим значения в формулу Герона для вычисления площади:

[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ] где ( a = 7 ) см, ( b = 8 ) см, ( c = 9 ) см.

Подставим значения:

[ S = \sqrt{12(12 - 7)(12 - 8)(12 - 9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} ] [ S = \sqrt{12 \times 60} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \text{ см}^2 \approx 26.83 \text{ см}^2 ]

2. Нахождение площади боковых граней

Теперь найдем площадь боковых граней пирамиды. Поскольку двугранные углы при основании равны, мы можем предположить, что боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Для нахождения площади боковых граней нам нужно знать длины сторон основания и высоту пирамиды. Высота пирамиды, как указано, равна 2 см.

Площадь боковых треугольников

Каждая боковая грань — это треугольник с высотой 2 см и основанием, равным стороне основания.

1. Треугольник с основанием 7 см: [ S_1 = \frac{1}{2} \times 7 \times 2 = 7 \text{ см}^2 ]

2. Треугольник с основанием 8 см: [ S_2 = \frac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8 \text{ см}^2 ]

3. Треугольник с основанием 9 см: [ S_3 = \frac{1}{2} \times 9 \times 2 = 9 \text{ см}^2 ]

Теперь найдем общую площадь боковых граней:

[ S_{\text{бок}} = S_1 + S_2 + S_3 = 7 + 8 + 9 = 24 \text{ см}^2 ]

3. Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется как сумма площади основания и площади боковых граней:

[ S{\text{пол}} = S + S{\text{бок}} = 12\sqrt{5} + 24 \approx 26.83 + 24 = 50.83 \text{ см}^2 ]

Ответ

Площадь полной поверхности пирамиды составляет ( 12\sqrt{5} + 24 ) см², что приближенно равно ( 50.83 ) см².