В основании пирамиды лежит ромб со стороной 15 см, каждая боковая грань образует с плоскостью основания...

Давайте решим задачу шаг за шагом. Нам нужно найти объем пирамиды, основанием которой является ромб, и известна площадь боковой поверхности и угол между боковыми гранями и плоскостью основания.

1. Дано:

   • Сторона ромба ( a = 15 ) см.
   • Угол между боковой гранью и плоскостью основания ( \alpha = 45^\circ ).
   • Площадь боковой поверхности ( S_{\text{бок}} = 3 ) дм(^2 = 3000 ) см(^2).

2. Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности пирамиды — это сумма площадей всех боковых треугольников. Поскольку основания пирамиды является ромб, у нее четыре боковых грани. Пусть ( h ) будет высотой боковой грани (апофемой) пирамиды, опущенной на сторону основания.

3. Высота боковой грани (апофема): Из условия, что угол между боковой гранью и основанием равен ( 45^\circ ), следует, что проекция боковой грани на плоскость основания равна высоте пирамиды ( H ). Используем тригонометрию: [ \tan(45^\circ) = \frac{H}{\frac{a}{2}} \Rightarrow H = \frac{a}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ см}. ]

4. Площадь боковой грани: Площадь одной боковой грани, являющейся равнобедренным треугольником, равна: [ S_{\text{бок.грани}} = \frac{1}{2} \times a \times h. ] Четыре такие грани дают общую площадь боковой поверхности: [ 4 \times \frac{1}{2} \times a \times h = 2ah. ] Подставим известные значения: [ 2 \times 15 \times h = 3000 \Rightarrow h = \frac{3000}{30} = 100 \text{ см}. ]

5. Найдем высоту пирамиды: В треугольнике, образованном высотой пирамиды ( H ), апофемой ( h ), и половиной стороны основания ( \frac{a}{2} ), по теореме Пифагора: [ h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2. ] Подставим известные значения: [ 100^2 = H^2 + 7.5^2 \Rightarrow 10000 = H^2 + 56.25 \Rightarrow H^2 = 9943.75 \Rightarrow H = \sqrt{9943.75} \approx 99.72 \text{ см}. ]

6. Площадь основания: Площадь ромба: [ S_{\text{осн}} = a^2 \times \sin(90^\circ) = 15^2 = 225 \text{ см}^2. ]

7. Объем пирамиды: Формула для объема пирамиды: [ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times H. ] Подставим найденные значения: [ V = \frac{1}{3} \times 225 \times 99.72 \approx 7497 \text{ см}^3. ]

Таким образом, объем пирамиды составляет примерно ( 7497 ) кубических сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту пирамиды, используя заданные данные.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту. Поскольку у нас основание в виде ромба, то его периметр равен 4 * 15 = 60 см. Поэтому площадь боковой поверхности равна 3 дм2 = 300 см2.

Таким образом, 300 = 60 * h / 2, откуда h = 10 см.

Теперь можем использовать формулу для объема пирамиды: V = (S * h) / 3, где S - площадь основания, h - высота.

Площадь основания ромба равна S = a^2, где а - длина стороны ромба. Здесь а = 15 см, поэтому S = 15^2 = 225 см2.

Теперь подставляем все значения в формулу для объема пирамиды: V = (225 * 10) / 3 = 750 см3.

Итак, объем пирамиды составляет 750 см3.