в основании пирамиды лежит квадрат с диагональю равной 6. Одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Большее боковое ребро наклоннено к осонованию под углом 45 градусов. Чему равен обьем пирамиды?
в основании пирамиды лежит квадрат с диагональю равной 6. Одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Большее боковое ребро наклоннено к осонованию под углом 45 градусов. Чему равен обьем пирамиды?
Для нахождения объема пирамиды сначала найдем высоту боковой грани. Поскольку одно из боковых ребер перпендикулярно основанию, то это боковое ребро равно высоте пирамиды. Так как угол между большим боковым ребром и основанием равен 45 градусов, то мы можем разделить боковое ребро на две части, чтобы найти высоту. Таким образом, высота боковой грани будет равна 6/√2 = 3√2.
Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды. Поскольку в основании лежит квадрат с диагональю равной 6, то сторона квадрата будет равна 6/√2 = 3√2. Площадь квадрата равна сторона в квадрате, то есть (3√2)^2 = 18.
Наконец, чтобы найти объем пирамиды, мы используем формулу V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота. Подставляем наши значения и получаем V = (1/3) 18 3√2 = 6√2.
Таким образом, объем пирамиды равен 6√2.
Для решения задачи найдем сначала необходимые параметры пирамиды.
Диагональ квадрата (d) равна 6. Для квадрата со стороной (a), диагональ выражается через формулу: [ d = a\sqrt{2}. ] Подставим известное значение диагонали: [ 6 = a\sqrt{2}. ] Отсюда находим сторону квадрата: [ a = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}. ]
Одно из боковых рёбер перпендикулярно основанию, следовательно, это ребро и есть высота пирамиды. Пусть оно равно (h).
Большее боковое ребро наклонено к основанию под углом 45 градусов. Обозначим большее боковое ребро как (L).
Из условия задачи известно, что это большее ребро наклонено под углом 45 градусов, и оно образует прямоугольный треугольник с высотой (h) и половиной диагонали квадрата в основании ( \frac{6}{2} = 3 ).
Используем тригонометрическое соотношение: [ \tan(45^\circ) = \frac{h}{3}. ] Так как (\tan(45^\circ) = 1), то имеем: [ h = 3. ]
В треугольнике с боковым ребром (L) и высотой (h) гипотенуза равна: [ L = \sqrt{h^2 + 3^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. ]
Объём пирамиды рассчитывается по формуле: [ V = \frac{1}{3} S{основания} \cdot h. ] Площадь основания (S{основания}) равна площади квадрата: [ S_{основания} = a^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18. ] Подставим найденные значения в формулу для объёма: [ V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 3 = 18. ]
Таким образом, объём пирамиды равен 18.
