В оснавании прямой призмы лежит квадрат со стороной 3. Боковые ребра равны 4/п.Найдите объем цилиндра...

Чтобы найти объем цилиндра, описанного около прямой призмы, нужно определить радиус его основания и высоту.

1. Основание призмы — квадрат со стороной 3, следовательно, радиус описанной окружности вокруг квадрата можно найти по формуле: $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ где $a$ — сторона квадрата. Подставим значение: $R=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

2. Высота цилиндра равна высоте призмы, которая составляет $h=\frac{4}{\pi }$.

3. Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V=\pi R^{2}h$ Подставим найденные значения: $V=\pi {\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2\cdot \frac{4}{\pi }$ Упростим: $V=\pi \cdot \frac{9\cdot 2}{4}\cdot \frac{4}{\pi }=9$

Таким образом, объем цилиндра, описанного около призмы, равен $9$ кубических единиц.

Чтобы найти объем цилиндра, описанного около данной прямой призмы, разберем задачу поэтапно.

Дано:

1. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной $a=3$.
2. Боковые ребра призмы равны $h=\frac{4}{\pi }$.

Необходимо найти объем цилиндра, который описан около этой призмы.

Понимание задачи:

Цилиндр, описанный около прямой призмы, должен иметь:

1. Основание цилиндра — окружность, описанная вокруг квадрата основания призмы.
2. Высоту цилиндра — равную высоте призмы, то есть $h=\frac{4}{\pi }$.

Шаг 1. Радиус основания цилиндра

Так как цилиндр описан вокруг квадрата, радиус основания цилиндра $(R$) равен радиусу окружности, описанной вокруг квадрата.

Диагональ квадрата $(d$) выражается через его сторону $a$ по формуле: $d=a\sqrt{2}.$

Для квадрата со стороной $a=3$: $d=3\sqrt{2}.$

Радиус описанной окружности равен половине диагонали: $R=\frac{d}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$

Шаг 2. Формула объема цилиндра

Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле: $V=\pi R^{2}h,$ где:

• $R$ — радиус основания цилиндра,
• $h$ — высота цилиндра.

Подставим найденные значения: $R=\frac{3\sqrt{2}}{2},h=\frac{4}{\pi }.$

Шаг 3. Подстановка значений

Сначала вычислим $R^2$: $R^2={\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{9\cdot 2}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}.$

Теперь подставим всё в формулу объема: $V=\pi R^{2}h=\pi \cdot \frac{9}{2}\cdot \frac{4}{\pi }.$

Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе: $V=\frac{9}{2}\cdot \frac{4}{1}=\frac{36}{2}=18.$

Ответ:

Объем цилиндра, описанного около данной призмы, равен: $\boxed{{\displaystyle 18}}.$

Для нахождения объема цилиндра, описанного около прямой призмы, необходимо сначала определить параметры самой призмы.

1. Параметры призмы:

   • Основание призмы — квадрат со стороной $a=3$.
   • Высота боковых рёбер $h=\frac{4}{\pi }$.

2. Определение радиуса описанного цилиндра: Цилиндр, описанный около призмы, будет иметь радиус, равный расстоянию от центра основания квадрата до его вершины. Для квадрата, центр которого находится в точке $1.5,1.5$ $половинадлиныстороны$, расстояние до вершины можно найти с помощью теоремы Пифагора.

   Вершины квадрата находятся в точках:

   • $(0,0$ )
   • $(0,3$ )
   • $(3,0$ )
   • $(3,3$ )

   Для нахождения расстояния от центра квадрата до одной из его вершин, например до точки $(0,0$ ): $r=\sqrt{(1.5-0{)}^2+(1.5-0{)}^2}=\sqrt{{1.5}^2+{1.5}^2}=\sqrt{2.25+2.25}=\sqrt{4.5}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

3. Высота цилиндра: Высота цилиндра будет равна высоте призмы: $h=\frac{4}{\pi }$

4. Объем цилиндра: Объем цилиндра можно найти по формуле: $V=\pi r^{2}h$ Подставим найденные значения: $r^2={\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{9\cdot 2}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$ Тогда объем цилиндра будет: $V=\pi \cdot \frac{9}{2}\cdot \frac{4}{\pi }=\frac{9\cdot 4}{2}=\frac{36}{2}=18$

Таким образом, объем цилиндра, описанного около прямой призмы, равен 18.