В окружности проведены диаметр KL,хорды LN и NK .Найдите площадь треугольника KLN,если LN=12,NK=8

Для решения задачи найдем площадь треугольника ( \triangle KLN ), используя данные о диаметре, хордах и свойствах окружности.

Дано:

1. ( KL ) — диаметр окружности.
2. ( LN = 12 ), ( NK = 8 ).
3. Треугольник ( \triangle KLN ) вписан в окружность.

Шаг 1: Собственные свойства

Диаметр окружности (( KL )) является самой длинной хордой и делит окружность на две равные части. Если треугольник ( \triangle KLN ) вписан в окружность и одна из сторон — диаметр (( KL )), то этот треугольник обязательно является прямоугольным (по теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр).

Таким образом, треугольник ( \triangle KLN ) — прямоугольный с прямым углом ( \angle LNK = 90^\circ ).

Шаг 2: Координаты точек и длины сторон

Для упрощения расчетов предположим, что центр окружности находится в начале координат ( O(0, 0) ), а диаметр ( KL ) лежит на оси ( x ). Тогда:

• Точка ( K ) имеет координаты ( (-R, 0) ), где ( R ) — радиус окружности.
• Точка ( L ) имеет координаты ( (R, 0) ).
• Точка ( N ) находится на окружности, а ( LN = 12 ) и ( NK = 8 ).

Шаг 3: Длина диаметра

Диаметр ( KL ) равен ( 2R ), где ( R ) — радиус окружности. Мы найдем длину ( KL ), используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ( \triangle KLN ).

Прямоугольный треугольник ( \triangle KLN ) имеет гипотенузу ( KL ) (диаметр), а катеты ( LN = 12 ) и ( NK = 8 ). По теореме Пифагора: [ KL^2 = LN^2 + NK^2. ] Подставим длины: [ KL^2 = 12^2 + 8^2 = 144 + 64 = 208. ] Следовательно: [ KL = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}. ]

Шаг 4: Площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника ( \triangle KLN ) находится по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2. ] Подставляем: [ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48. ]

Ответ:

Площадь треугольника ( \triangle KLN ) равна ( 48 ) квадратных единиц.

Для нахождения площади треугольника ( KLN ), где ( KL ) — это диаметр окружности, а ( LN ) и ( NK ) — хорды, воспользуемся следующими свойствами.

1. Свойство треугольника, вписанного в окружность: Если один из углов треугольника равен ( 90^\circ ), то треугольник является прямоугольным. Поскольку ( KL ) является диаметром, угол ( KNL ) будет прямым (по теореме о вписанном угле).

2. Площадь прямоугольного треугольника: Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, ] где ( a ) и ( b ) — это длины катетов.

В нашем случае:

• ( LN = 12 ) (катет)
• ( NK = 8 ) (катет)

1. Подставим значения в формулу площади: [ S = \frac{1}{2} \cdot LN \cdot NK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8. ]

2. Выполним вычисления: [ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = \frac{96}{2} = 48. ]

Таким образом, площадь треугольника ( KLN ) равна ( 48 ) квадратных единиц.