В окружность радиусом 10 см вписан треугольник, одна сторона которого является диаметром. другая сторона...

Для решения данной задачи нам необходимо определить высоту треугольника, проведенную из вершины, противолежащей диаметру. Так как диаметр является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота - катетом, то можем воспользоваться теоремой Пифагора:

(h^2 + 8^2 = 10^2)

(h^2 + 64 = 100)

(h^2 = 36)

(h = 6)

Таким образом, высота треугольника равна 6 см. Площадь треугольника можно найти, используя формулу (S = \frac{1}{2} \times a \times h), где a - основание треугольника, h - высота.

(S = \frac{1}{2} \times 16 \times 6)

(S = 48)

Ответ: площадь треугольника равна 48 квадратных сантиметров.

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами вписанных и описанных фигур.

Треугольник, у которого одна из сторон является диаметром окружности, называется вписанным прямоугольным треугольником. Это следует из теоремы о вписанном угле: если угол опирается на диаметр, то он является прямым.

Пусть ( AB ) — диаметр окружности, тогда ( AB = 20 ) см (так как радиус окружности равен 10 см). Обозначим третью вершину треугольника как ( C ).

Поскольку ( AB ) — диаметр, угол ( \angle ACB ) равен ( 90^\circ ). Таким образом, треугольник ( ABC ) — прямоугольный, где гипотенуза ( AB = 20 ) см, а одна из катетов, например ( AC = 16 ) см.

Для нахождения второго катета ( BC ) используем теорему Пифагора:

[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]

Подставим известные значения:

[ 20^2 = 16^2 + BC^2 ]

[ 400 = 256 + BC^2 ]

[ BC^2 = 400 - 256 = 144 ]

[ BC = \sqrt{144} = 12 \, \text{см} ]

Теперь у нас есть все стороны треугольника ( ABC ): ( AC = 16 ) см, ( BC = 12 ) см, и гипотенуза ( AB = 20 ) см.

Площадь прямоугольного треугольника ( ABC ) можно найти по формуле:

[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC ]

Подставим известные значения:

[ S = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = \frac{1}{2} \times 192 = 96 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь треугольника составляет 96 см².