Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами вписанных и описанных фигур.
Треугольник, у которого одна из сторон является диаметром окружности, называется вписанным прямоугольным треугольником. Это следует из теоремы о вписанном угле: если угол опирается на диаметр, то он является прямым.
Пусть ( AB ) — диаметр окружности, тогда ( AB = 20 ) см (так как радиус окружности равен 10 см). Обозначим третью вершину треугольника как ( C ).
Поскольку ( AB ) — диаметр, угол ( \angle ACB ) равен ( 90^\circ ). Таким образом, треугольник ( ABC ) — прямоугольный, где гипотенуза ( AB = 20 ) см, а одна из катетов, например ( AC = 16 ) см.
Для нахождения второго катета ( BC ) используем теорему Пифагора:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим известные значения:
[
20^2 = 16^2 + BC^2
]
[
400 = 256 + BC^2
]
[
BC^2 = 400 - 256 = 144
]
[
BC = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}
]
Теперь у нас есть все стороны треугольника ( ABC ): ( AC = 16 ) см, ( BC = 12 ) см, и гипотенуза ( AB = 20 ) см.
Площадь прямоугольного треугольника ( ABC ) можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times AC \times BC
]
Подставим известные значения:
[
S = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = \frac{1}{2} \times 192 = 96 \, \text{см}^2
]
Таким образом, площадь треугольника составляет 96 см².