В окружность длинной 24П проведена хорда, равная 12 см. Найдите градусную меру дуги, стягиваемой хордой

Для нахождения градусной меры дуги, стягиваемой хордой в окружности, нужно воспользоваться формулой: градусная мера дуги равна удвоенному углу, образованному хордой и дугой, выходящей из концов хорды и опирающейся на центр окружности.

Так как длина хорды равна 12 см, а длина окружности равна 24π см, то радиус окружности равен половине длины окружности, то есть 24π/2π = 12 см.

Теперь мы можем построить треугольник со сторонами 6 см (половина хорды), 12 см (радиус) и 12 см (радиус). Этот треугольник является равнобедренным, так как две стороны (радиусы) равны. Таким образом, угол между хордой и дугой равен 2 углам, образованным хордой и радиусом, то есть 2*60° = 120°.

Итак, градусная мера дуги, стягиваемой хордой, равна 120°.

Чтобы найти градусную меру дуги, стягиваемой хордой в окружности, нужно выполнить несколько шагов, опираясь на известные геометрические свойства окружностей и хорд.

1. Найдем радиус окружности: Длина окружности ( C ) равна ( 24\pi ). Длина окружности выражается через радиус ( r ) формулой: [ C = 2\pi r ] Подставим известное значение длины окружности: [ 2\pi r = 24\pi ] Упростим уравнение, разделив обе его части на ( 2\pi ): [ r = 12 \text{ см} ]

2. Рассмотрим треугольник, образованный радиусами и хордой: Хорда делит окружность на две дуги. Проведем радиусы ( OA ) и ( OB ) к концам хорды ( AB ). Таким образом, получаем равнобедренный треугольник ( OAB ) с равными сторонами ( OA = OB = 12 \text{ см} ) и основанием ( AB = 12 \text{ см} ).

3. Используем теорему косинусов для нахождения угла при вершине ( O ): Обозначим угол ( AOB ) через ( \theta ). Теорема косинусов для треугольника ( OAB ) гласит: [ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\theta) ] Подставим известные значения: [ 12^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos(\theta) ] Упростим уравнение: [ 144 = 144 + 144 - 288 \cos(\theta) ] Сократим одинаковые члены: [ 144 = 288 - 288 \cos(\theta) ] Перенесем ( 288 \cos(\theta) ) влево: [ 288 \cos(\theta) = 144 ] Разделим обе части на 288: [ \cos(\theta) = \frac{144}{288} = \frac{1}{2} ] Следовательно: [ \theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) ] Известно, что: [ \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ ]

4. Определим градусную меру дуги: Угол ( AOB ) равен ( 60^\circ ), это также центральный угол, стягивающий дугу ( AB ). Соответственно, градусная мера дуги, стягиваемой хордой ( AB ), равна ( \theta = 60^\circ ).

Итак, градусная мера дуги, стягиваемой хордой длиной 12 см в данной окружности, равна ( 60^\circ ).