В кубе АВСДА1В1С1Д1 точка М лежит на ребре ВВ1 ,причем ВМ:МВ1=3:2 ,а точка N лежит на ребре АД ,причем...

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить сначала координаты точек М и N, затем определить уравнение прямой MN и уравнение плоскости грани А1В1С1Д1, после чего найти угол между ними.

Пусть координаты точек A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 следующие: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A1(0,0,1), B1(1,0,1), C1(1,1,1), D1(0,1,1).

Так как ВМ:МВ1=3:2, то координаты точки М будут (1, 0, 2/5), а так как AN:Nd=2:3, то координаты точки N будут (0, 3/5, 0).

Уравнение прямой MN можно найти, используя параметрическое уравнение прямой: x = 1t, y = 3/5, z = 2/5t.

Уравнение плоскости грани А1В1С1Д1 можно найти, используя уравнение плоскости по трём точкам. Так как грань А1В1С1Д1 образована точками A1, B1, C1, D1, то уравнение плоскости будет иметь вид x + y + z = 1.

Теперь, чтобы найти синус угла между прямой MN и плоскостью грани А1В1С1Д1, можно воспользоваться формулой скалярного произведения векторов: sin(θ) = |n l| / (|n| |l|), где n - вектор нормали к плоскости грани, l - направляющий вектор прямой MN.

Таким образом, найдя скалярное произведение и модули векторов получим значение синуса угла.

Пожалуйста, скажите, если вам нужно более подробное объяснение или помощь с решением задачи.

Сначала найдем координаты точек М и N. Пусть сторона куба равна a. Тогда координаты точки М будут (0, 3a/5, 2a/5), а точки N - (2a/5, 0, 3a/5).

Далее найдем векторы MN и нормаль к плоскости грани А1В1С1Д1. Вектор MN = (-2a/5, 3a/5, a/5), а нормаль к плоскости грани А1В1С1Д1 будет (1, 1, 1).

Теперь найдем скалярное произведение векторов MN и нормали к плоскости. Синус угла между прямой MN и плоскостью грани А1В1С1Д1 равен модулю этого скалярного произведения, деленному на произведение модулей векторов MN и нормали к плоскости.

Синус угла между прямой MN и плоскостью грани А1В1С1Д1 равен |(-2a/5 + 3a/5 + a/5)| / √((-2a/5)^2 + (3a/5)^2 + (a/5)^2) * √(1^2 + 1^2 + 1^2) = 2√2/3.

Для решения задачи сначала определим координаты точек, после чего найдем вектор (\vec{MN}) и нормальный вектор к плоскости ((A_1B_1C_1D_1)), а затем вычислим синус угла между вектором (\vec{MN}) и этой плоскостью.

1. Координаты точек:

   Пусть ребро куба имеет длину ( a ). Тогда координаты вершин куба будут:

   • ( A(0, 0, 0) )
   • ( B(a, 0, 0) )
   • ( C(a, a, 0) )
   • ( D(0, a, 0) )
   • ( A_1(0, 0, a) )
   • ( B_1(a, 0, a) )
   • ( C_1(a, a, a) )
   • ( D_1(0, a, a) )

   Точка ( M ) лежит на ребре ( BB_1 ), а ( BM:MB_1 = 3:2 ). Тогда координаты точки ( M ) можно найти как: [ M = \left(a, 0, \frac{3}{5}a\right) ]

   Точка ( N ) лежит на ребре ( AD ), а ( AN:ND = 2:3 ). Тогда координаты точки ( N ) можно найти как: [ N = \left(0, \frac{2}{5}a, 0\right) ]

2. Вектор ( \vec{MN} ):

   Вектор ( \vec{MN} ) определяется как разность координат точек ( M ) и ( N ): [ \vec{MN} = N - M = \left(0 - a, \frac{2}{5}a - 0, 0 - \frac{3}{5}a\right) = \left(-a, \frac{2}{5}a, -\frac{3}{5}a\right) ]

3. Нормальный вектор к плоскости ( A_1B_1C_1D_1 ):

   Плоскость ( A_1B_1C_1D_1 ) параллельна плоскости ( xy ), и ее нормальный вектор равен ( \vec{n} = (0, 0, 1) ).

4. Синус угла между вектором ( \vec{MN} ) и плоскостью:

   Чтобы найти синус угла между вектором и плоскостью, нужно вычислить косинус угла между вектором ( \vec{MN} ) и нормальным вектором ( \vec{n} ), а затем воспользоваться тем, что (\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}).

   Косинус угла между вектором (\vec{MN}) и нормальным вектором (\vec{n}): [ \cos \theta = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{n}}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{n}|} ]

   Скалярное произведение: [ \vec{MN} \cdot \vec{n} = (-a) \cdot 0 + \frac{2}{5}a \cdot 0 + \left(-\frac{3}{5}a\right) \cdot 1 = -\frac{3}{5}a ]

   Длина вектора ( \vec{MN} ): [ |\vec{MN}| = \sqrt{(-a)^2 + \left(\frac{2}{5}a\right)^2 + \left(-\frac{3}{5}a\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{4}{25}a^2 + \frac{9}{25}a^2} = \sqrt{\frac{50}{25}a^2} = \sqrt{2}a ]

   Длина нормального вектора: [ |\vec{n}| = 1 ]

   Тогда: [ \cos \theta = \frac{-\frac{3}{5}a}{\sqrt{2}a} = -\frac{3}{5\sqrt{2}} ]

   Синус угла: [ \sin \theta = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{50}} = \sqrt{\frac{41}{50}} ]

Таким образом, синус угла между прямой ( MN ) и плоскостью ( A_1B_1C_1D_1 ) равен (\sqrt{\frac{41}{50}}).