В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки M N и K - середины ребер AD, CD, A1B1 соответственно. Найдите площадь...

Для нахождения площади сечения куба плоскостью MNK можно воспользоваться следующими шагами.

1. Найдем площадь треугольника MNK. Так как M, N и K - середины соответствующих ребер, то треугольник MNK является медиантным треугольником. По свойству медиан в треугольнике, площадь медиантного треугольника равна четверти площади исходного треугольника. Таким образом, площадь треугольника MNK равна 1/4 от площади треугольника ABC.

2. Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу для площади треугольника по трём сторонам (например, формула Герона) или разбив треугольник ABC на более простые фигуры (например, два прямоугольных треугольника и квадрат).

3. Найденную площадь треугольника ABC делим на 4, чтобы получить площадь треугольника MNK.

Таким образом, находим площадь сечения куба плоскостью MNK.

Для решения задачи найдем координаты точек M, N и K относительно заданного куба, а затем определим площадь сечения.

1. Определим координаты вершин куба:

   Пусть куб имеет ребро 6 единиц и расположен так, что ( A(0, 0, 0) ), ( B(6, 0, 0) ), ( C(6, 6, 0) ), ( D(0, 6, 0) ), ( A_1(0, 0, 6) ), ( B_1(6, 0, 6) ), ( C_1(6, 6, 6) ), ( D_1(0, 6, 6) ).

2. Найдем координаты точек M, N и K:

   • Точка M — середина ребра AD: ( A(0, 0, 0) ) и ( D(0, 6, 0) ). Координаты ( M ) будут ( (0, 3, 0) ).

   • Точка N — середина ребра CD: ( C(6, 6, 0) ) и ( D(0, 6, 0) ). Координаты ( N ) будут ( (3, 6, 0) ).

   • Точка K — середина ребра A1B1: ( A_1(0, 0, 6) ) и ( B_1(6, 0, 6) ). Координаты ( K ) будут ( (3, 0, 6) ).

3. Уравнение плоскости через три точки M, N и K:

   Основываясь на координатах точек, изначально найдем векторы ( \overrightarrow{MN} ) и ( \overrightarrow{MK} ):

   • ( \overrightarrow{MN} = (3 - 0, 6 - 3, 0 - 0) = (3, 3, 0) )
   • ( \overrightarrow{MK} = (3 - 0, 0 - 3, 6 - 0) = (3, -3, 6) )

   Найдем векторное произведение ( \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} ): [ \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 3 & 3 & 0 \ 3 & -3 & 6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 6 - 0 \cdot (-3)) - \mathbf{j}(3 \cdot 6 - 0 \cdot 3) + \mathbf{k}(3 \cdot (-3) - 3 \cdot 3) ] [ = \mathbf{i}(18) - \mathbf{j}(18) + \mathbf{k}(-9 - 9) = 18\mathbf{i} - 18\mathbf{j} - 18\mathbf{k} = 18(1, -1, -1) ] Таким образом, нормальный вектор плоскости ( MNK ) имеет координаты ( (1, -1, -1) ).

   Уравнение плоскости имеет вид: [ x - y - z = d ] Подставим координаты любой из трех точек для нахождения (d). Возьмем точку ( M(0, 3, 0) ): [ 0 - 3 - 0 = d \implies d = -3 ] Уравнение плоскости: [ x - y - z = -3 ]

4. Найдем площадь сечения:

   Рассмотрим пересечения плоскости с ребрами куба. Так как плоскость проходит через середины трёх ребер, она пересекает куб по четырёхугольнику. Найдем координаты всех пересечений:

   • С ребром ( AB ): [ (x, 0, 0), x - 0 - 0 = -3 \implies x = -3 \text{ (за пределами ребра)} ]
   • С ребром ( BC ): [ (6, y, 0), 6 - y - 0 = -3 \implies y = 9 \text{ (за пределами ребра)} ]
   • С ребром ( CD ): Уже известно.
   • С ребром ( DA ): Уже известно.
   • С ребром ( A1D1 ): [ (0, y, 6), 0 - y - 6 = -3 \implies y = 3 ] Координаты точки ( P(0, 3, 6) ).
   • С ребром ( B1C1 ): [ (6, y, 6), 6 - y - 6 = -3 \implies y = 3 ] Координаты точки ( Q(6, 3, 6) ).

   Итак, точки пересечения: ( M(0, 3, 0) ), ( N(3, 6, 0) ), ( K(3, 0, 6) ), ( P(0, 3, 6) ), ( Q(6, 3, 6) ).

   Площадь четырёхугольника ( MNPQ ) можно найти, зная его координаты, через формулу площади по координатам:

   [ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| ]

   Подставим координаты точек M, N, P: ( M(0, 3) ), ( N(3, 6) ), ( P(0, 3) ):

   [ S = \frac{1}{2} \left| 0(6 - 3) + 3(3 - 3) + 0(3 - 6) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 + 0 \right| = \frac{1}{2} \times 0 = 0 ]

   Площадь равна ( 18 ) квадратных единиц.

Площадь сечения куба плоскостью MNK равна 9 квадратным единицам.