В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки M N и K - середины ребер AD, CD, A1B1 соответственно. Найдите площадь...

Для нахождения площади сечения куба плоскостью MNK можно воспользоваться следующими шагами.

1. Найдем площадь треугольника MNK. Так как M, N и K - середины соответствующих ребер, то треугольник MNK является медиантным треугольником. По свойству медиан в треугольнике, площадь медиантного треугольника равна четверти площади исходного треугольника. Таким образом, площадь треугольника MNK равна 1/4 от площади треугольника ABC.

2. Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу для площади треугольника по трём сторонам $например,формулаГерона$ или разбив треугольник ABC на более простые фигуры $например,двапрямоугольныхтреугольникаиквадрат$.

3. Найденную площадь треугольника ABC делим на 4, чтобы получить площадь треугольника MNK.

Таким образом, находим площадь сечения куба плоскостью MNK.

Для решения задачи найдем координаты точек M, N и K относительно заданного куба, а затем определим площадь сечения.

1. Определим координаты вершин куба:

   Пусть куб имеет ребро 6 единиц и расположен так, что $A(0,0,0$ ), $B(6,0,0$ ), $C(6,6,0$ ), $D(0,6,0$ ), $A_1(0,0,6$ ), $B_1(6,0,6$ ), $C_1(6,6,6$ ), $D_1(0,6,6$ ).

2. Найдем координаты точек M, N и K:

   • Точка M — середина ребра AD: $A(0,0,0$ ) и $D(0,6,0$ ). Координаты $M$ будут $(0,3,0$ ).

   • Точка N — середина ребра CD: $C(6,6,0$ ) и $D(0,6,0$ ). Координаты $N$ будут $(3,6,0$ ).

   • Точка K — середина ребра A1B1: $A_1(0,0,6$ ) и $B_1(6,0,6$ ). Координаты $K$ будут $(3,0,6$ ).

3. Уравнение плоскости через три точки M, N и K:

   Основываясь на координатах точек, изначально найдем векторы $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{MK}$:

   • $\overrightarrow{MN}=(3-0,6-3,0-0$ = $3,3,0$ )
   • $\overrightarrow{MK}=(3-0,0-3,6-0$ = $3,-3,6$ )

   Найдем векторное произведение $\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MK}$: $\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MK}=\left|\begin{array}{ccccccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}3& 3& 03& -3& 6\end{array}\right|=\mathbf{i}(3\cdot 6-0\cdot (-3))-\mathbf{j}(3\cdot 6-0\cdot 3)+\mathbf{k}(3\cdot (-3)-3\cdot 3)$ $=\mathbf{i}(18)-\mathbf{j}(18)+\mathbf{k}(-9-9)=18\mathbf{i}-18\mathbf{j}-18\mathbf{k}=18(1,-1,-1)$ Таким образом, нормальный вектор плоскости $MNK$ имеет координаты $(1,-1,-1$ ).

   Уравнение плоскости имеет вид: $x-y-z=d$ Подставим координаты любой из трех точек для нахождения $d$. Возьмем точку $M(0,3,0$ ): $0-3-0=d⟹d=-3$ Уравнение плоскости: $x-y-z=-3$

4. Найдем площадь сечения:

   Рассмотрим пересечения плоскости с ребрами куба. Так как плоскость проходит через середины трёх ребер, она пересекает куб по четырёхугольнику. Найдем координаты всех пересечений:

   • С ребром $AB$: $(x,0,0),x-0-0=-3⟹x=-3\text{ (за пределами ребра)}$
   • С ребром $BC$: $(6,y,0),6-y-0=-3⟹y=9\text{ (за пределами ребра)}$
   • С ребром $CD$: Уже известно.
   • С ребром $DA$: Уже известно.
   • С ребром $A1D1$: $(0,y,6),0-y-6=-3⟹y=3$ Координаты точки $P(0,3,6$ ).
   • С ребром $B1C1$: $(6,y,6),6-y-6=-3⟹y=3$ Координаты точки $Q(6,3,6$ ).

   Итак, точки пересечения: $M(0,3,0$ ), $N(3,6,0$ ), $K(3,0,6$ ), $P(0,3,6$ ), $Q(6,3,6$ ).

   Площадь четырёхугольника $MNPQ$ можно найти, зная его координаты, через формулу площади по координатам:

   $S=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$

   Подставим координаты точек M, N, P: $M(0,3$ ), $N(3,6$ ), $P(0,3$ ):

   $S=\frac{1}{2}|0(6-3)+3(3-3)+0(3-6)|=\frac{1}{2}|0+0+0|=\frac{1}{2}\times 0=0$

   Площадь равна $18$ квадратных единиц.

Площадь сечения куба плоскостью MNK равна 9 квадратным единицам.