В цилиндре параллельно оси проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 60 градусов....

Для решения данной задачи нам необходимо определить радиус основания цилиндра и высоту сечения.

Так как дуга основания цилиндра составляет 60 градусов, то угол между радиусами, проведенными к точкам пересечения дуги с окружностью, также будет равен 60 градусов.

Из геометрии окружности следует, что центральный угол, соответствующий дуге в 60 градусов, равен 1/6 полного оборота. Таким образом, радиус окружности равен 1/6 от длины окружности, которая равна 2πr, где r - радиус основания цилиндра.

Отсюда получаем уравнение: r = (60/360) * 2πr r = πr/3 r = 3 см

Теперь определим высоту сечения. Проведем прямую от центра основания перпендикулярно плоскости сечения. Получится треугольник прямоугольный, у которого один катет равен 3 см, а гипотенуза (основание цилиндра) равна 6 см (так как радиус основания равен 3 см). Найдем второй катет по теореме Пифагора: h = √(6^2 - 3^2) h = √27 h = 3√3 см

Теперь можем найти площадь сечения цилиндра. Площадь сечения цилиндра равна произведению радиуса основания и высоты сечения: S = πr^2 S = π*(3)^2 S = 9π см^2

Таким образом, площадь сечения цилиндра равна 9π квадратных сантиметров.

Чтобы вычислить площадь сечения цилиндра, давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Параметры цилиндра:

   • Высота (длина оси) цилиндра ( h = 12 ) см.
   • Плоскость параллельна оси цилиндра и отсекает дугу основания в 60 градусов, это значит, что плоскость пересекает цилиндр по хорде этой дуги.
   • Расстояние от секущей плоскости до оси цилиндра составляет 3 см.

2. Радиус основания цилиндра:

   • Пусть радиус основания цилиндра равен ( R ).
   • Дуга в 60 градусов соответствует центральному углу в 60 градусов. В окружности с радиусом ( R ) длина хорды ( AB ), которая отсекает дугу в 60 градусов, определяется формулой: [ AB = 2R \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 2R \sin(30^\circ) = 2R \times \frac{1}{2} = R ]
   • Таким образом, длина хорды ( AB = R ).

3. Положение плоскости относительно оси цилиндра:

   • Расстояние от оси до секущей плоскости равно 3 см. Это значит, что плоскость проходит через точку, удаленную на 3 см от центра основания цилиндра.

4. Использование теоремы Пифагора в треугольнике:

   • Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и перпендикуляром от центра окружности к хорде.
   • Обозначим перпендикуляр от центра ( O ) к хорде ( AB ) как ( OM ). Тогда ( AM = MB = \frac{R}{2} ).
   • Используя теорему Пифагора в треугольнике ( OMA ): [ OM^2 + AM^2 = OA^2 ] [ OM^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 = R^2 ] [ OM^2 + \frac{R^2}{4} = R^2 ] [ OM^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4} ] [ OM = \frac{\sqrt{3}}{2}R ]
   • Так как ( OM = 3 ) см, то: [ \frac{\sqrt{3}}{2}R = 3 ] [ R = \frac{3 \times 2}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} ]

5. Площадь сечения:

   • Сечение, образованное плоскостью, представляет собой прямоугольник, стороны которого равны длине хорды ( R ) и высоте цилиндра ( h ).
   • Следовательно, площадь сечения ( S ) равна: [ S = R \times h = 2\sqrt{3} \times 12 = 24\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь сечения цилиндра составляет ( 24\sqrt{3} \, \text{см}^2 ).

Площадь сечения цилиндра равна 36 квадратных сантиметров.