Упростите выражение: вектор AB + вектор MP + вектор CM + вектор BC + вектор PN

Чтобы упростить выражение, содержащее векторы ( \vec{AB} + \vec{MP} + \vec{CM} + \vec{BC} + \vec{PN} ), полезно воспользоваться свойствами векторов и понять, как они складываются в различных конфигурациях.

1. Коммуникативность и ассоциативность сложения векторов: Векторы можно складывать в любом порядке, и это не изменит результата. Это позволяет нам группировать векторы в удобные пары.

2. Принцип переноса векторов: Вектор можно переносить параллельно самому себе, что позволяет нам объединять векторы, исходящие из одной и той же точки.

Рассмотрим каждый из векторов в выражении:

• ( \vec{AB} ): вектор из точки ( A ) в точку ( B ).
• ( \vec{MP} ): вектор из точки ( M ) в точку ( P ).
• ( \vec{CM} ): вектор из точки ( C ) в точку ( M ).
• ( \vec{BC} ): вектор из точки ( B ) в точку ( C ).
• ( \vec{PN} ): вектор из точки ( P ) в точку ( N ).

Теперь попробуем понять, можно ли упростить выражение, объединив векторы так, чтобы они образовали замкнутый контур или сократились.

1. Объединение векторов:

   Заметим, что ( \vec{AB} ) и ( \vec{BC} ) можно объединить в ( \vec{AC} ), так как ( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} ).

   Теперь перепишем выражение с этим упрощением: [ \vec{AC} + \vec{MP} + \vec{CM} + \vec{PN} ]

2. Объединение оставшихся векторов:

   ( \vec{CM} ) — это вектор, идущий в обратном направлении относительно ( \vec{MC} ). Таким образом, ( \vec{AC} + \vec{CM} ) превращается в ( \vec{AM} ).

   Переписываем выражение: [ \vec{AM} + \vec{MP} + \vec{PN} ]

3. Рассмотрим оставшиеся векторы:

   ( \vec{AM} ) и ( \vec{MP} ) можно объединить в ( \vec{AP} ): [ \vec{AP} + \vec{PN} ]

   Наконец, ( \vec{AP} + \vec{PN} ) объединяются в ( \vec{AN} ).

Таким образом, итоговое упрощенное выражение для ( \vec{AB} + \vec{MP} + \vec{CM} + \vec{BC} + \vec{PN} ) равно: [ \vec{AN} ]

Итак, итоговое упрощение выражения: [ \vec{AB} + \vec{MP} + \vec{CM} + \vec{BC} + \vec{PN} = \vec{AN} ]

Эта запись показывает, что все векторы в сумме дают вектор, направленный из начальной точки ( A ) в конечную точку ( N ).

Для упрощения данного выражения нам нужно прежде всего раскрыть каждый вектор на его составляющие координаты. После этого сложить соответствующие координаты и снова составить вектор из полученных сумм.

Предположим, что вектор AB имеет координаты (x1, y1), вектор MP - (x2, y2), вектор CM - (x3, y3), вектор BC - (x4, y4), вектор PN - (x5, y5).

Тогда суммируя соответствующие координаты, мы получим: Вектор AB + вектор MP + вектор CM + вектор BC + вектор PN = (x1 + x2 + x3 + x4 + x5, y1 + y2 + y3 + y4 + y5).

Таким образом, упрощенное выражение будет иметь вид вектор с координатами, равными сумме соответствующих координат входящих в него векторов.

AB + BC + CM + MP + PN