У треугольника со сторонами 14 и 21 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к меньшей стороне, равна 6. Чему равна высота, проведенная к большей стороне?
У треугольника со сторонами 14 и 21 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к меньшей стороне, равна 6. Чему равна высота, проведенная к большей стороне?
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойством прямоугольных треугольников, а именно тем, что высота, проведенная к гипотенузе, является средним гармоническим между двумя отрезками, на которые она делит гипотенузу.
Пусть высота, проведенная к большей стороне треугольника, равна h. Тогда по свойству среднего гармонического имеем:
1/h = 1/6 + 1/(21-h)
Учитывая, что высота, проведенная к меньшей стороне, равна 6, подставляем данное значение в уравнение:
1/h = 1/6 + 1/(21-6) 1/h = 1/6 + 1/15 1/h = (5 + 2)/30 1/h = 7/30 h = 30/7
Таким образом, высота, проведенная к большей стороне треугольника, равна 30/7 или примерно 4.29.
Для решения задачи воспользуемся свойством высот треугольника: произведение длины стороны на высоту, проведенную к этой стороне, равно удвоенной площади треугольника. Таким образом, если мы найдем площадь треугольника, то сможем определить высоту, проведенную к другой стороне.
Итак, пусть ( a = 14 ) и ( b = 21 ) — это стороны треугольника, ( h_a = 6 ) — высота, проведенная к стороне ( a ). Найдем площадь треугольника:
[ S = \frac{1}{2} \times a \times h_a = \frac{1}{2} \times 14 \times 6 = 42 ]
Теперь найдем высоту ( h_b ), проведенную к стороне ( b ):
[ S = \frac{1}{2} \times b \times h_b ]
Подставим известное значение площади:
[ 42 = \frac{1}{2} \times 21 \times h_b ]
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[ 84 = 21 \times h_b ]
Разделим обе стороны уравнения на 21, чтобы найти ( h_b ):
[ h_b = \frac{84}{21} = 4 ]
Таким образом, высота, проведенная к большей стороне, равна 4.
Высота, проведенная к большей стороне треугольника, равна 9.
